O desafio do sêxtuplo

 Matemática

 

O perfil @obmep_oficial lançou o seguinte desafio:

 

"Encontre um número de 6 algarismos abcdef tal que multiplicando esse número por 6 encontraremos como resultado o número defabc"

 

Você quer descobrir como se chega à resposta? Vamos falar sobre ela.

 

[Reprodução do desafio. Imagem: @obmep_oficial | Reprodução]

 

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PRINCÍPIOS MATEMÁTICOS

 

Os números na base dez nada mais são do que produtos entre o número e uma potência de dez. No número cento e quarenta e cinco:

 

145 = 100 + 40 + 5 = 1 • 10² + 4 • 10¹ + 5 • 10⁰.

 

Os números podem ser decompostos dessa forma e manipulados a partir de sua base. Para a base dez, as contas são intuitivas, pois pensamos nessa forma, mas nem todos os números usam essa base. Computadores são binários, horários nas bases doze e sessenta, dentre outras.

 

A RESOLUÇÃO DO DESAFIO

 

Vejamos a equação:

 

abcdef • 6 = defabc

 

Encontrar dígito por dígito, ou tentar efetuar a divisão e equacionar é muito difícil. Alguns atributos lógicos podem ser vistos, como:

 

• c, por vir de um produto de seis, deve ser par.

• Como acima de dois, na tabuada do seis, já resulta em doze, a = 1, obrigatoriamente.

• defabc é múltiplo de três, e abcdef também.

 

Pensando nos atributos posicionais, pensemos em "abc" como um número e "def" como outro.

 

abcdef • 6 = defabc

(1000 • abc + def) • 6 = (1000 • def + abc)

6000 • abc + 6 def = 1000 • def + abc

6000 • abc - abc = 1000 • def - 6 • def

5999 • abc = 994 • def

 

Para simplificar a relação aqui, vamos fatorar os coeficientes.

 

5999 = 7 • 857, sendo dois fatores primos.

994 = 2 • 7 • 71, sendo três fatores primos.

 

Somente sete é fator comum, então chegamos a:

 

857 • abc = 142 • def.

 

Como 857 é primo, e não temos esse fator do outro lado da equação, def precisa ser 857 e abc acaba sendo 142. Isso torna a equação verdadeira, pois estamos falando de números inteiros.

 

Vamos conferir se funcionou?

 

142.857 • 6 = 857.142 ✅️

 

• c, por vir de um produto de seis, deve ser par – c = 2 ✅️

• Como acima de dois, na tabuada do seis, já resulta em doze, a = 1 ✅️

• defabc é múltiplo de três, e abcdef também. Vejamos: 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 8 + 5 + 7 + 1 + 4 + 2 = 27 (múltiplo de três) ✅️

 

E DOS NÚMEROS SIMPÁTICOS?

 

Além de Bháskara, mais gente humaniza a Matemática. Noutro desafio da OBMEP, a humanização veio na simpatia dos números. Relembre 👇🏻:

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E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 Quais e quantos seriam os números simpáticos?

 

 

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