O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico

por - quarta-feira, junho 17, 2020


Matemática


O seno e cosseno partem de relações trigonométricas, e também podem ser descritos na forma de uma circunferência, considerando uma equação x² + y² = 1, sendo x = sen(t) e y = cos(t). Para o seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, seguimos ideia semelhante, mas considerando x² - y² = 1, com x = cosh(t) e y = senh(t). Nesse artigo, vamos saber um pouco mais sobre as curiosidades, diferenças e aplicação das funções trigonométricas hiperbólicas.


A FÓRMULA EXPONENCIAL


Além da relação fundamental da trigonometria hiperbólica, também há outras formas de expressar as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. Elas podem ser descritas como somas de funções exponenciais naturais:

cosh(t) = 0,5 • [exp(t)+ exp(-t)] ou 0,5 • [et+ e-t]
senh(t) = 0,5 • [exp(t) - exp(-t)] ou 0,5 • [et - e-t]

A função cosseno hiperbólico possui o aspecto de uma hipérbole voltada para cima:

 
https://www.oblogdomestre.com.br/2020/06/SenoCossenoHiperbolico.Matematica.html
[Aspecto da função cosseno hiperbólico. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]


A função seno hiperbólico, por sua vez, possui o aspecto que une curvas parecidas com a função logarítmica (t < 0) e função exponencial (t > 0), tendo esse formato de gráfico:

 
https://www.oblogdomestre.com.br/2020/06/SenoCossenoHiperbolico.Matematica.html
[Aspecto da função seno hiperbólico. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]



AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS


Existem outras relações trigonométricas hiperbólicas, as quais serão listadas a seguir. Os nomes das relações são os mesmos para as relações trigonométricas convencionais.

tanh(t) = senh(t)/cosh(t)
cotanh(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
cossech(t) = 1/senh(t)
cosh²(t) – senh²(t) = 1

Em outra postagem futura, iremos desdobrar essas e outras expressões e ver por que elas são válidas!

A APLICAÇÃO NO MUNDO REAL DO MODELO HIPERBÓLICO


 
https://www.oblogdomestre.com.br/2020/06/SenoCossenoHiperbolico.Matematica.html
[Nos postes temos um exemplo clássico. Imagem: Jim Semonik/Pixabay]


Observe os cabos das redes de distribuição de energia. Segundo a UEL, não é uma parábola a melhor função para modelar aquele formato curvo dos cabos fixos nos postes, mas uma curva cosseno-hiperbólica. Por ser observada também em correntes, usadas para segurar prisioneiros, essa curva também recebeu o nome de catenária (sendo o radical catena, em latim, igual a cadeia).



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