Comprimentos de arco usando integrais

Matemática

Pode ser de nosso interesse conhecer qual o comprimento de arco de uma função qualquer. Isso é simples quando falamos de uma reta ou a curva do gráfico de funções polinomiais, por exemplo, afinal podemos pensar nisso no plano.

[Imagem: janjf93/Pixabay]

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Mas quando nosso problema é modelado por funções vetoriais, precisaremos fazer uma integral de linha. Essa integral irá envolver uma função vetorial r = f(t)i + g(t)j + h(t)k, ou o equivalente às equações paramétricas x = f(t), y = g(t) e z = h(t).

Sendo f'(t), g'(t) e h'(t) funções derivadas e contínuas, o comprimento é dado por:

Vamos a um exemplo:

1 ) Queremos obter o comprimento de arco da hélice descrita pela função vetorial

F(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk onde 0 ≤ t ≤ 2π.

Descrevendo as funções paramétricas e fazendo a derivação/diferenciação:

f(t) = cos(t) e f'(t) = -sen(t).

g(t) = sen(t) e g'(t) = cos(t).

h(t) = t e h'(t) = 1.

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