A regra da substituição

Cálculo

A Regra da Substituição é um artifício utilizado no Cálculo, que serve para definir as expressões de funções primitivas fazendo a integração com a simplificação do integrando. Ela se baseia no princípio da regra da cadeia na derivação.

O princípio da regra da cadeia é o seguinte:

Tenho uma função f(g(x)), onde g(x) é o argumento de f (cada valor de g(x) compõe o domínio de f gerando novos valores). De forma simplificada, tem-se uma função "dentro" de outra. A derivada será

f'(g(x)) • g'(x).

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Partindo disso, iremos olhar um integrando qualquer e tentar enxergar essa estrutura. Se a gente consegue ver f'(g) e g', chega-se à primitiva f(g). Para isso ser válido, f precisa ser contínua na imagem de g.

Vamos a um exemplo:

1 - Qual a integral de (sen²(x)cos(x) dx)?

Fazendo u = sen(x)

du/dx = cos(x)

du = cos(x)dx

(1/3) sen³(x) + C

Testando para ver se a integral realmente leva à função que integramos:

F(x) = (1/3) sen³(x) + C

F’(x) = 1/3 • (3 sen²(x))• cos(x) + C

F’(x) = sen²(x)cos(x)

2 - Resolva pela regra da substituição a integral:

Fazendo u = 1 + x²

du/dx = 2x

du = 2xdx

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