Cálculo
A Regra da Substituição é um artifício
utilizado no Cálculo, que serve para definir as expressões de funções
primitivas fazendo a integração com a simplificação do integrando. Ela se
baseia no princípio da regra da cadeia na derivação.
O princípio da regra da cadeia é o seguinte:
Tenho uma função f(g(x)), onde g(x) é o
argumento de f (cada valor de g(x) compõe o domínio de f gerando novos
valores). De forma simplificada, tem-se uma função "dentro" de outra.
A derivada será
f'(g(x)) • g'(x).
![MATEMÁTICA O
BLOG DO MESTRE](https://4.bp.blogspot.com/-PCzYP1RR9zA/VLKtJtFjm5I/AAAAAAAAKa8/VLlu59nbG3I/s1600-rw/TARJETAS%2B-%2BMATEM%C3%81TICA.jpg)
Partindo disso, iremos olhar um integrando
qualquer e tentar enxergar essa estrutura. Se a gente consegue ver f'(g) e g',
chega-se à primitiva f(g). Para isso ser válido, f precisa ser contínua na
imagem de g.
Vamos a um exemplo:
1 -
Qual a integral de (sen²(x)cos(x) dx)?
Fazendo u = sen(x)
du/dx = cos(x)
du = cos(x)dx
![](https://1.bp.blogspot.com/-X0MpI-CRQ84/XOiMgyxbk9I/AAAAAAAAP1o/8HXx3RTwUUsEQ72ke26rITB_U58ZoaAWACEwYBhgL/s200-rw/IMAGEM%2B2232%2B-%2BREGRA%2BDA%2BSUBSTITUI%25C3%2587%25C3%2583O%2B-%2BO%2BBLOG%2BDO%2BMESTRE.jpg)
(1/3) sen³(x) + C
Testando para ver se a integral realmente leva
à função que integramos:
F(x) = (1/3) sen³(x) + C
F’(x)
= 1/3 • (3 sen²(x))• cos(x) + C
F’(x)
= sen²(x)cos(x)
2 -
Resolva pela regra da substituição a integral:
![](https://1.bp.blogspot.com/-Ph5FQcLvPX4/XOiMgz8L_jI/AAAAAAAAP1s/EJ-QP6QRx28FfUKL3vrG6p-HD70BnWlswCEwYBhgL/s200-rw/IMAGEM%2B2233%2B-%2BREGRA%2BDA%2BSUBSTITUI%25C3%2587%25C3%2583O%2B-%2BO%2BBLOG%2BDO%2BMESTRE.jpg)
Fazendo u = 1 + x²
du/dx = 2x
du = 2xdx
![](https://1.bp.blogspot.com/-wdz-RlOvJmg/XOiMg_QrHvI/AAAAAAAAP1k/P2FKcxKiM_YLYXoY8A83eIwDXQaxxvqAQCEwYBhgL/s320-rw/IMAGEM%2B2234%2B-%2BREGRA%2BDA%2BSUBSTITUI%25C3%2587%25C3%2583O%2B-%2BO%2BBLOG%2BDO%2BMESTRE.jpg)
□
👉 E ainda mais
para você: Integração
por partes e a integral de ln (x)
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