A derivada direcional

Matemática

Assim como qualquer função derivada, a direcional representa uma taxa de variação considerando mais de uma variável. A seguir, iremos saber melhor como determiná-la e suas particularidades.

[Imagem: 6689062/Pixabay]

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Vamos considerar f como uma função de duas variáveis, x e y ou f(x,y). Considerando f diferenciável tanto em x como em y, existem as derivadas parciais f’(x) e f’(y), representando as taxas de variação de f na direção do eixo x e na direção do eixo y, respectivamente.

Pode-se generalizar o conceito de derivada parcial, podendo ser obtida a taxa de variação em qualquer direção do plano onde está definida. Essa é a derivada direcional, sendo uma “combinação” das derivadas parciais.

Em geral, vamos desejar definir essa derivada direcional em um ponto qualquer, de coordenadas (x₀,y₀), na direção de um vetor unitário u = ai + bj. Para esse ponto, teremos a derivada direcional Dd:

Dd f(x₀,y₀) = a • f’(x) + b • f’(y)

Vamos a um exemplo:

1) Qual seria a derivada direcional de f(x,y) = 2x²y³ - 4y no ponto (-1,1) na direção do vetor u = 2i + j?  

Vamos começar pelo vetor u. Ele precisa ser unitário, mas temos um vetor com norma maior do que um. O jeito é normalizar, ou seja, fabricar um novo vetor na mesma direção do original, mas com norma (chamada de módulo por alguns autores) igual a um.

|| u || = ((-2)² + (1)²)^(0,5) = 5^(0,5) = 11,18

u normalizado = (-2/11,18; 1/11,18)

Em seguida, vamos fazer as derivadas parciais f’(x) e f’(y):

f’(x) = 4xy³

f’(y) = 6x²y² - 4

Substituindo os valores do ponto de interesse:

f’(x) = 4(-1)(1)³ = -4

f’(y) = 6(-1)²(1)² - 4 = 2

E, por fim, aplicando a fórmula da derivada direcional, temos:

Dd f(x₀,y₀) = a • f’(x) + b • f’(y)

Dd f(-1,1) = (-2/11,18) • -4 + (1/11,18) • 2 = 8/11,18 + 2/11,18 = 10/11,18

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