Máximos e mínimos, globais e locais, e o teorema do valor extremo.

Matemática

Em uma função f(x) qualquer, em um intervalo [a, b], há variação de valores de f de acordo com o valor atribuído a x no domínio. Se esta função é contínua neste intervalo fechado (condição), o teorema do valor extremo nos diz que sempre haverá um valor f(c), como valor de mínimo, e um valor f(d), como valor de máximo, para c e d pertencentes a [a, b].

Antes de explicitar melhor como são estes valores de máximo e mínimo e como defini-los num intervalo, vamos olhar uma função qualquer e ver quais são as características destes pontos.

[Imagem: Gerador de Gráficos do Google]

» Teorema do sanduíche

» Limites indeterminados e a regra de L'Hospital

» Condições de contorno

Primeiramente, veja que a inclinação da tangente à curva muda de sinal justamente quando f possui ou um de seus maiores ou menores valores dentro de um intervalo. Ou, se considerarmos o intervalo [-4,4] na função qualquer dada, os maiores ou menores valores de f(x) em todo o intervalo estão nos extremos. Exatamente nos valores de pico de f(x) neste intervalo, a tangente à curva é nula, ou seja, horizontal. Também pode não ser possível definir a inclinação desta tangente, como no caso da função modular no ponto (0,0).

Quando pensamos na variação de uma função associada à sua derivada f’(x), conseguimos definir todas as ocorrências destes valores de pico. No caso dos máximos e mínimos globais, estes são os maiores e menores valores, f(d) e f(c), respectivamente, que ocorrem em todo o domínio considerado. Ou seja, dentro de todo o domínio, os valores respectivos do conjunto imagem estão restritos com f(c) ≤ f(x) ≤ f(d).

Porém veja que, no nosso exemplo, na função qualquer, quando aproximamo-nos de -2,2, temos um valor de máximo, onde a tangente à curva é horizontal, mas não ocorre o máximo valor do domínio [-4,4]: ao nos aproximarmos deste valor no domínio, seja pela direita como pela esquerda, o máximo valor nas proximidades é f(2,2), chamado de máximo local. Um mínimo local se procede de maneira semelhante, porém é o menor valor de f em suas proximidades.

Para definir todos os máximos e mínimos globais, em um dado domínio fechado [a,b], definimos os pontos críticos, que são pontos de extremo do domínio - a e b – além daqueles pontos em que f’(x) = 0 ou que f’(x) inexiste, que são as condições matemáticas antes visualizadas na curva acima. Calculamos f para todos os pontos críticos e, trivialmente, o maior valor será o máximo global e o menor será o mínimo global.

Depois, para definir quais os máximos e mínimos locais, vemos se o sinal de f’(x) varia de positivo a negativo ao passar por um ponto crítico – neste caso, temos um máximo local. Se f’(x) varia de negativo a positivo ao passar por aquele ponto crítico, temos um mínimo local.  Vale lembrar que todos os máximos globais são, por sua vez, máximos locais. Da mesma forma para os mínimos.

□

E ainda mais para você: Teoremas de Rolle e do valor médio

GOSTOU DESTA POSTAGEM? USANDO A BARRA DE BOTÕES, COMPARTILHE COM SEUS AMIGOS!