Teoremas de Rolle e do Valor Médio.

watch_later 21 de maio de 2012
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Dois outros importantes teoremas para o Cálculo são o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. Estes são teoremas existenciais, ou seja, afirmam a existência de um dado extremo, respeitadas certas condições, mas não afirmam como encontrá-lo.
O francês Michel Rolle (1952-1719) foi um crítico das técnicas do Cálculo, convicto nesta posição. Todavia, ao analisar as técnicas com mais clareza, convenceu-se de que os métodos eram realmente corretos. Tanto que publicou este Teorema, no ano de 1961.

Teorema de Rolle: Sendo uma função f contínua em um intervalo fechado [a,b], diferenciável no intervalo aberto (a,b), f(a) = f(b), então existe no mínimo um valor c no intervalo (a,b) tal que f’(c) = 0

Vemos a veracidade deste teorema em todos os casos em que as três condições são satisfeitas. Se f(x) = k (função constante), qualquer valor no intervalo (a,b) possui derivada igual à zero. Intuitivamente, em funções em que f(x) > f(a) ou f(x) < f(a),  para um x qualquer no intervalo, há um valor em (a,b) tal que f’(c) = 0, pois as funções são contínuas e, havendo transição de valores de f, em algum momento a curva de f precisará ‘voltar’ ao local de origem. Saindo da intuição e partindo para a demonstração, se f(x) > f(a) para um x em (a,b), pelo Teorema do Valor Extremo, f tem um valor máximo em algum ponto do intervalor [a,b]. Como este valor não pode ser f(a) nem f(b) porque f(a) = f(b), a função assume um valor máximo em c no intervalo (a,b) e f’(c) = 0 (pelo Teorema de Fermat), pois f é diferenciável em todo o intervalo considerado, inclusive nas extremidades.
Veja os exemplos:


Da esquerda para a direita: f(c) = k; g(c) > g(a); h(c) < h(a); f,g e h cumprindo os pré-requisitos do Teorema de Rolle.□

O Teorema do Valor Médio, correlacionado com o de Rolle, não tem este nome por acaso. Se um automóvel viaja a uma velocidade média de oitenta quilômetros por hora, por exemplo. Isto indica que ele, em alguns momentos, esteve mais rápido e, em outros, mais devagar. O mais interessante é que, independentemente disso, em algum momento, a velocidade média foi igual à velocidade escalar instantânea.

Teorema do Valor Médio: Seja uma função f contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto ]a,b[. Então, há um valor c em ]a,b[ tal que f’(c) = [f(b) – f(a)] / (b – a), ou f(b) – f(a) = f’(c) (b – a).

Os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) geometricamente, possuem a taxa de variação média descrita pela reta secante AB, e os pontos (c1, f(c1)) e (c2, f(c2)) possuem reta tangente com mesma inclinação. Veja:


O Teorema do Valor Médio não impede a existência de mais de um ponto em que isto aconteça, apenas afirma que há, no mínimo, um ponto em que ocorre esta relação, respeitadas as condições do Teorema. □

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