Teorema do Sanduíche

watch_later 12 de janeiro de 2015
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Matemática

O teorema do sanduíche, espremedura ou confronto, é uma forma de resolver limites de funções que podem não ser tão simples, a princípio, com algum conhecimento do comportamento de outras funções, e a comparação destas com a função da qual se quer saber o limite. A ideia básica é a que está sendo passada pelo nome: achar duas funções que estão ensanduichando a função de que queremos saber o limite em um dado valor a, para um limite quando x tende a a.

teorema do confronto
[Imagem: Alfaconnection]


Explicitando matematicamente, o teorema do sanduíche nos diz que se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) nas proximidades de a (x tende a a), e se lim x →a g(x) =  lim x →a h(x) = L, então lim x →a f(x) = L. isto é válido para comportamento assintótico, com x tendendo ao infinito.

1) Encontre lim x →+∞ (x+1)½ – (x) ½

Esta é uma indeterminação da forma ∞ - ∞. Uma forma possível de resolver seria obter a derivada usando a regra de L’Hospital ou usar alguma outra regra matemática cabulosa, como a que vamos usar. Primeiramente, vamos escrever a função g(x) = (x+1)½ – (x) ½ de outra forma:

(x+1)½ – (x) ½ = (x+1)½ – (x) ½ · ((x+1)½ + (x) ½)/ ((x+1)½ + (x) ½) = 1/((x+1)½ + (x) ½)

Agora vem o passo mais importante: escolher quais funções serão os nossos pães: note que g(x) = 0 < f(x) = 1/((x+1)½ + (x) ½) < h(x) =1/(2(x) ½). f(x) < h(x) porque:

 ((x+1)½ + (x) ½) > 0 → 1/((x+1)½ + (x) ½) > 0

 (x+1)½ > (x) ½ → 1/((x+1)½ + (x) ½) < 1/((x)½ + (x) ½) = 1/(2(x) ½)

Sabendo que lim x →+∞ 0 = 0 e que lim x →+∞ 1/(2(x) ½) = 0, pelo teorema do Sanduíche, é válido afirmar que:

lim x →+∞ (x+1)½ – (x) ½ = lim x →+∞ 1/((x+1)½ + (x) ½) = 0.






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