Valores máximos e mínimos


Até agora, apresentamos em nosso blog as mais diferentes regras de derivação, de forma que o cálculo das derivadas se tornasse mais fácil, evitando o uso da definição por limites. Várias aplicações do dia-a-dia precisam dos conhecimentos do Cálculo para se desenvolver. Lucratividade é a palavra fundamental para um negócio. A melhor forma de uma embalagem, o melhor ritmo de produção, os rendimentos de uma aplicação a curto, médio e longo prazo; são problemas de otimização. Certamente você, leitor do blog, já ouviu falar neste termo.

Para resolver este tipo de problema, alguns conceitos precisam ser trabalhados, como máximos e mínimos globais e locais.

Valor máximo global é o valor em c tal que f(c) maior do que f(x) para todo x E Domf. Para qualquer valor do conjunto domínio, o valor máximo absoluto ou global em c é maior ou igual a qualquer valor do conjunto imagem da função.

Valor mínimo global é o valor em c tal que f(c) menor do que f(x) para todo x E Domf. Para qualquer valor de x, o valor mínimo absoluto f(c) será menor ou igual a f(x).

Exemplo:



Temos o valor máximo global da função f(x) em a e o valor mínimo global em b, conforme visualizamos intuitivamente ao observar o gráfico da função. Outros dois conceitos importantes são os de valor mínimo local e valor máximo local.

Valor máximo local é o valor em c tal que f(c) maior do que f(x) para todo x que pertença a um intervalo aberto ]a,b[ contido em Domf. Para qualquer valor deste intervalo do conjunto domínio, o valor máximo local em c é maior ou igual a qualquer valor do conjunto imagem da função entre f(a) e f(b).

Valor mínimo local é o valor em c tal que f(c) menor do que f(x) para todo x que faça parte do intervalo aberto ]a,b[, subconjunto de Domf. Para qualquer valor de x neste intervalo, o valor mínimo local f(c) será menor ou igual a f(x).

Exemplo:


Restringindo um intervalo do Domínio, percebemos que (c, f(c)) é um  valor máximo local e (d, f(d)) é um valor mínimo local. A imagem apenas explicitou este fato, já mostrado na imagem anterior.

Máximos globais também são os máximos locais. As funções podem ou não ter máximos e mínimos locais e globais. A função cosseno, por exemplo, possui máximos locais e globais em f(x) = 1 e f(x) = -1; ou seja, em múltiplos pares de π e múltiplos ímpares de π, respectivamente.

Na função y = x2, não há máximo global, assim como nas funções potência de maior grau, que crescem indefinidamente. Porém há o mínimo global desta função que é zero. Já a função y = x3 não possui máximos e mínimos, nem globais, nem locais exceto restringindo o domínio, como veremos adiante.

Como pudemos perceber, algumas funções possuem valores extremos, e o teorema a seguir nos dá condições de dizer se uma função possui valores extremos.

Teorema do Valor Extremo: se a função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em certos números c e d em [a,b].

Este é um teorema de difícil demonstração, a qual omitiremos, mas sua aplicação é de grande valia. É importante dizer que, pelo teorema do Valor Extremo, não podemos fazer a mesma afirmação em uma função que seja descontínua ou em intervalo aberto, usando este teorema. Uma função pode ter valores de máximo e mínimo mesmo sendo descontínua.

O Teorema do Valor Extremo nos afirma da existência dos pontos de máximo e mínimo em uma função contínua em um dado intervalo fechado, mas não nos diz como encontrá-lo. Um fato interessante que pode ocorrer com os valores de máximo e mínimo é ilustrado abaixo:


Observe que a função f(x) é diferenciável em a e b, cujos pontos de máximo e mínimo estão em (a, f(a)) e (b, f(b)) respectivamente. A derivada indica a inclinação da reta tangente à uma curva em um dado ponto, a qual, nos pontos dados, é igual a zero (f’(a) = 0 e f’(b) = 0). Esta observação fez surgir outro teorema, o qual afirma a veracidade deste fato:

Teorema de Fermat: Se f possuir um extremo local em c e se f’(c) existir, então f’(c) = 0

O Teorema de Fermat foi assim designado em homenagem o advogado francês Pierre de Fermat (1601-65), matemático amador (por não viver da matemática), que junto com Descartes é pai da Geometria Analítica, e tem importantes contribuições no Cálculo Diferencial.

Devemos estar atentos ao fato de que nem sempre os extremos (tanto globais quanto locais) podem não ser indicados simplesmente encontrando as raízes da expressão da função derivada quando esta é igual à zero. O Teorema de Fermat afirma que a derivada é igual a zero em um extremo, se e somente se a função for diferenciável neste extremo e estivermos realmente tratando de um extremo. Portanto, devemos ter cautela ao usar o Teorema de Fermat, ainda mais se não possuirmos o gráfico de uma função por perto.

   Exemplos:

1 – f(x) = x3 é uma função contínua e diferenciável em toda a sua extensão. A derivada de f, f’(x) é 3x2, que, em x igual a zero, vale zero (f’(0) = 0). Todavia, não há extremos locais ou globais em 0, este é apenas um valor de x em que a derivada é igual a zero. Esta função não possui extremos locais, portanto.

2 – f(x) = lxl possui um único mínimo local e global em 0. Todavia, não poderíamos encontrá-lo usando o Teorema de Fermat, pois f’(0) não existe, mesmo que a função seja contínua.

Dessa forma, o Teorema de Fermat sugere que encontrar valores em que f’ é igual a zero é apenas uma forma de começar a encontrar os valores extremos, mas não a única. Então, surge do Teorema de Fermat a definição de número crítico, que é um valor c no Domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. Exemplo:

3 – f(x) = x3/5(4 - x). Por meio da regra do produto, obtemos f’(x) = (12 – 8x)/ (5x2/5). Em seguida, descobrimos os números em que f’ é igual a zero ou f’ não existe (neste caso, quando o denominador é igual a zero), e descobrimos os números críticos 0 e 3/2.

Os extremos a e b de um intervalo fechado no qual quisermos descobrir os extremos globais, também são considerados números críticos pois, em alguns casos, são eles mesmos os extremos em [a,b]. Usamos o seguinte método para calcular os extremos um intervalo fechado:

Método do Intervalo Fechado: Em um intervalo [a,b] fechado, encontramos os seus extremos globais aplicando as seguintes etapas:

       1 – Calcule a expressão para a derivada da função original;
2 – Descubra os números críticos de f (valores para os quais f’ = 0 ou f’ inexiste);
3 – Calcule f nos números críticos e nas extremidades do intervalo;
4 – Os extremos globais em f no intervalo [a,b] serão respectivamente (c, f(c)) e (d, f(d)) sendo c e d os valores de x para os quais f assumiu o maior e menor valor, máximo global e mínimo global, respectivamente.

Exemplo:

4 – Encontre os valores máximo e mínimo absolutos para a função f(x) = x3 - 3x2 + 1 em [-1/2, 4]:

Como a função é contínua no intervalo dado, podemos usar o método do Intervalo Fechado. Encontramos f’(x) = 3x2 - 6x.  Os valores em que f’ = 0 são x = 0 ou x = 2, que estão contidos no intervalo [-1/2, 4] (é importante ficar atento a este detalhe: podemos obter valores em que f’=0 que não estejam em [a,b]!). Então, usamos -1/2 e 4, os próprios valores de extremidade do intervalo também. Calculamos f nestes quatro pontos:
f(0) = 1; f(2) = -3; f(-1/2) = 1/8 e f(4) = 17
Então, concluímos que f possui mínimo global em 2 e máximo global em 4 no intervalo [-1/2, 4].□
Veja também: (Datas Comemorativas) Coisas de mãe

4 comentários:

Jhunnior Almeida disse...

Perfeito!!! Obrigado.

Osvaldo de Oliveira Amaral disse...

Parece-me que há um equívoco na substituição dos pontos críticos e dos extremos do intervalo em f.
f(0) = 1
f(2) = 2³+3.2²+1
f(2) = 21
f(-1/2) = (-1/2)³+3.(-1/2)²+1
f(-1/2) = 13/8 ou 1,625
f(4) = 4³+3.4²+1
f(4) = 113
Mínimo global em x = 0 e máximo global em x = 4
Tire-me essa dúvida, por gentileza. Abraços!

O Mestre Blogueiro disse...

Obrigado por sua colaboração, Osvaldo de Oliveira Amaral. Atenção é fundamental na obtenção de resultados coerentes em qualquer ramo da Matemática. Houve um erro de digitação no enunciado, estando a resolução correta. Sabendo que f'(x) = 3x² - 6x e a constante C de integração é 1, F(x) = x³ - 3x² + 1. O que ocorreu foi que F(x) estava apresentada como F(x) = x³ + 3x² + 1, estando feita a devida correção.

Osvaldo de Oliveira Amaral disse...

Ok! Fico feliz pelo reconhecimento.

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