Condições de contorno

watch_later 2 de abril de 2014
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Matemática

Cada função contém apenas uma outra função que a caracteriza, indicando sua taxa de variação. Esta função é chamada de função derivada. Porém, se buscamos saber a qual função corresponde uma derivada, nos deparamos com uma família de funções. Como surge este problema? Que considerações fazer?


Pelas regras da derivação, ao derivarmos uma função F(x) + C, sendo C uma constante, obteremos uma função f'(x). Se C = 0, temos a mesma derivada. Isto se deve ao fato de a constante ser acrescida a todos os pontos, não contribuindo para a variação da função, apenas deslocando o gráfico.
Pensando pelo raciocínio oposto, ao integrar uma função, há inúmeras integrais, todas da forma F(x) + C. Dependendo de qual o problema, temos as seguintes soluções:

- Quando desejamos saber uma integral definida, consideramos sempre que C = 0, restringindo apenas a uma solução, respeitadas as condições e limites de integração.
Exemplo: Integrar a função f(x) = 2x + 7 no intervalo de -1 a 5.
ʃ-15 (2x + 7)dx = [ x² + 7x ] -15 = [25 + 35] – [1 – 7] = 66

- Quando desejamos saber qual a função integral (integral indefinida), consideraremos o conjunto de funções que atendem à mesma derivada. Depois, definir-se-á a constante C específica.
Exemplo: Integrar a mesma função f(x) = 2x + 7, calculando sua integral indefinida, e obtendo o valor da Constante C.
Fazemos o mesmo procedimento, considerando a constante C:
F(x) = ʃ(2x + 7)dx = x² + 7x + C.
Agora, o enunciado pede para definir C. Mas, como sabê-la se não tenho nenhuma informação adicional? É aí que vêm as condições de contorno, como essa: F(0) = 1.
Substituindo os valores, tem-se:
F(0) = 0² + 7 · 0 + C = 1
Destarte, C = 1
Para sucessivas integrações, é preciso ter uma condição de contorno para cada constante a ser descoberta, de modo a formar um sistema linear possível de ser resolvido.

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