Integração por partes e a integral de ln x.

Cálculo 

Em algumas funções em que não há a possibilidade de substituição direta como método de integração, desta forma, se fazem necessários outro métodos como a integração por partes ou a substituição trigonométrica, por exemplo. O método da integração por partes consiste em uma transformação da expressão da derivada do produto:

(f ∙ g)’ = fg’ + f’g

Integrando ambos os membros, sendo f e g funções de x, temos que:

A partir desta ideia, pensamos que a função que desejamos integrar seja o produto entre uma função que foi derivada e outra que não, de maneira que conseguimos realizar uma substituição para encontrar a integral desejada. Usaremos a função ln x como exemplo. É muito comum saber-se a sua derivada, que é a função recíproca y = 1/x, por sua praticidade de uso na derivação logarítmica. Todavia, para encontrarmos sua integral, é necessário usar da integração por partes. Sempre se busca uma integral mais fácil de calcular do que a original, geralmente alguma que seja mais conhecida. Porém, há um problema. Nós temos apenas uma função f(x) = ln x e não duas.

Lembrando que 1 é a derivada de um função g(x) = x (bissetriz dos quadrantes ímpares - função identidade), podemos considerar que temos um produto f(x) ∙ g’(x):

f(x) = ln x, então f ’(x) = 1/x

g ’(x) = 1, então g(x) = x

Destarte:

Este método pode ser muito útil, mas deve ser aplicado quando não há meios mais fáceis de resolução, como o método da substituição. Porém, não havia traço da derivada de ln x, o que seria necessário.

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Veja também: (Matemática) Definição de Integral

 

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