Como resolver equações diferenciais de Bernoulli?

Cálculo

A resolução de equações diferenciais de Bernoulli envolve uma técnica de substituição seguida pelas técnicas de resolução de equações diferenciais lineares (por função potencial, fator integrante ou diferenciais separáveis), e o posterior retorno à variável original. Primeiramente, veja a forma geral destas equações: 

(dy/dx) + P(x) ∙ y(x) = Q(x) ∙ yⁿ(x), onde n≥2, n inteiro.

(Note que, se n igual à zero ou um, teríamos diretamente uma equação diferencial linear) 

Primeiramente, multiplicamos toda a equação diferencial por y^-n, obtendo: 

y^-n (dy/dx) + P(x) ∙ y^{(1 – n)}  = Q(x) 

Em seguida, criaremos uma função auxiliar u = u(y), que, como y = y(x), temos que u = u(x), ou seja, u é uma função de x.  Esta função u será dada por: 

u(x) = y^{(1 – n)} (x) 

Derivando esta função u em relação à x, temos que: 

du/dx = (1 - n)y^{(1 – n - 1)} (x) ∙ dy/dx Þ y ^{– n} (x) ∙ dy/dx = (1 – n)^-1du/dx 

Com estas duas relações, podemos realizar substituições e obter, então, uma equação diferencial linear: 

(1 – n)^-1du/dx + P(x) ∙ u = Q(x) 

Multiplicando ambos os membros por (1 – n), 

du/dx + (1 – n)∙P(x) ∙ u = (1 – n) ∙ Q(x) 

Com esta estrutura, é possível encontrar o fator integrante, que é dado pela base exponencial natural (também chamada de neperiana) e elevada à ʃ(1 – n)∙P(x) dx. Assim: 

e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ du/dx + e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n)∙P(x) ∙ u = e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x)

Com esta expressão, veja que há um termo du/dx na primeira parcela do primeiro membro da equação, e um termo u na segunda parcela. Será possível perceber que se trata de um produto de funções de x que foi derivado, gerando esta equação. Destarte, pode-se simplificar esta equação diferencial para: 

d(e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ u)/dx = e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x) 

Integramos ambos os membros em relação à x, assim: 

ʃ [d(e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ u)/dx] dx = ʃ [e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k (constante)

e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ u = ʃ [e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k

Isolando u(x) no primeiro membro:

u = e ^{- ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ [ ʃ [e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k] 

Então retornamos à variável original e descobrimos a função que é solução à equação diferencial de Bernoulli que buscamos: 

u(x) = y^{(1 – n)} (x) Þ u^{(n -1)}(x) = y (x) 

y (x) = { e ^{- ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ [  ʃ [e ^{ʃ(1 – n)∙P(x) dx} ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k] }^{(n -1)}

Vejamos um exemplo para que os passos algebricamente descritos fiquem mais claros: 

1 – Descubra a solução geral para a equação diferencial de Bernoulli seguinte:

dy/dx – (2/x) ∙ y =  3xy². 

y^-2 ∙ dy/dx – y^-1 ∙ (2/x) =  3x. 

Para u = y^-1, du/dx = - y^-2 ∙ dy/dx. 

-du/dx –(2/x) ∙ u = 3x Þ du/dx + (2/x) ∙ u = -3x

O fator integrante será obtido elevando e à ʃ (2/x) dx (= 2 ∙ ʃ dx/x = 2 ln (x) = ln x²), ou seja, será igual a x². Destarte: 

x² ∙ (du/dx) + 2x ∙ u = -3x³ 

d(x²u)/dx = -3x³ Þ ʃ [d(x²u)/dx] dx = -3 ∙ ʃx³ dx + k, sendo k uma constante 

x²u = -3x⁴/ 4  + k  Þ u = (-3/4) ∙ x² + kx^-2

Voltando à variável original, y(x) = 1/u = [(-3/4) ∙ x² + kx^-2]^-1 

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