A resolução de equações diferenciais de
Bernoulli envolve uma técnica de substituição seguida pelas técnicas de
resolução de equações diferenciais lineares (por função potencial, fator integrante
ou diferenciais separáveis), e o posterior retorno à variável original.
Primeiramente, veja a forma geral destas equações:
(dy/dx) + P(x) ∙ y(x) = Q(x) ∙ yn(x),
onde n≥2, n inteiro.
(Note que, se n igual à zero ou um, teríamos
diretamente uma equação diferencial linear)
Primeiramente, multiplicamos toda a
equação diferencial por y-n, obtendo:
y-n (dy/dx) + P(x) ∙ y(1 –
n) = Q(x)
Em seguida, criaremos uma função auxiliar
u = u(y), que, como y = y(x), temos que u = u(x), ou seja, u é uma função de x.
Esta função u será dada por:
u(x) = y(1 – n) (x)
Derivando esta função u em relação à x,
temos que:
du/dx = (1 - n)y(1 – n - 1) (x)
∙ dy/dx Þ y
– n (x) ∙ dy/dx = (1 – n)-1du/dx
Com estas duas relações, podemos realizar
substituições e obter, então, uma equação diferencial linear:
(1 – n)-1du/dx + P(x) ∙ u =
Q(x)
Multiplicando ambos os membros por (1 – n),
du/dx + (1 – n)∙P(x) ∙ u = (1 – n) ∙ Q(x)
Com esta estrutura, é possível encontrar o
fator integrante, que é dado pela base exponencial natural (também chamada de neperiana) e elevada à ʃ(1
– n)∙P(x) dx. Assim:
e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
du/dx + e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙ (1 – n)∙P(x) ∙ u = e ʃ(1
– n)∙P(x) dx ∙ (1 – n) ∙ Q(x)
Com esta expressão, veja que há um termo
du/dx na primeira parcela do primeiro membro da equação, e um termo u na
segunda parcela. Será possível perceber que se trata de um produto de funções
de x que foi derivado, gerando esta equação. Destarte, pode-se simplificar esta
equação diferencial para:
d(e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙ u)/dx
= e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙ (1 – n) ∙ Q(x)
Integramos ambos os membros em relação à
x, assim:
ʃ [d(e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
u)/dx] dx = ʃ [e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k (constante)
e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
u = ʃ [e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙ (1 – n) ∙ Q(x)] dx + k
Isolando u(x) no primeiro membro:
u = e - ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
[ ʃ [e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
(1 – n) ∙ Q(x)] dx + k]
Então retornamos à variável original e
descobrimos a função que é solução à equação diferencial de Bernoulli que
buscamos:
u(x) = y(1 – n) (x) Þ u(n -1)(x)
= y (x)
y (x) = { e - ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
[ ʃ [e ʃ(1 – n)∙P(x) dx ∙
(1 – n) ∙ Q(x)] dx + k] }(n -1)
Vejamos um exemplo para que os passos
algebricamente descritos fiquem mais claros:
1 – Descubra
a solução geral para a equação diferencial de Bernoulli seguinte:
dy/dx – (2/x) ∙ y = 3xy².
y-2 ∙ dy/dx – y-1 ∙ (2/x)
= 3x.
Para u = y-1, du/dx = - y-2
∙ dy/dx.
-du/dx –(2/x) ∙ u = 3x Þ du/dx + (2/x) ∙ u
= -3x
O fator integrante será obtido elevando e
à ʃ (2/x) dx (= 2 ∙ ʃ dx/x = 2 ln (x) = ln x²), ou seja, será igual a x².
Destarte:
x² ∙ (du/dx) + 2x ∙ u = -3x³
d(x²u)/dx = -3x³ Þ ʃ [d(x²u)/dx] dx
= -3 ∙ ʃx³ dx + k, sendo k uma constante
x²u = -3x4/ 4 + k Þ u = (-3/4) ∙ x² +
kx-2
Voltando à variável original, y(x) = 1/u =
[(-3/4) ∙ x² + kx-2]-1
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