Aritmética modular, a Prova dos Noves e a Prova Real

 Matemática

A Prova Real e a Prova dos Noves (também recebendo o nome menos agradável de noves fora) são estratégias para quem não dispõe de uma calculadora (e fez seu cálculo à mão) conferir seu resultado. Inicialmente, iremos comentar o procedimento para fazer a Prova dos Noves e, se você gostar um pouco mais de matemática, o porquê de sua validade e o risco que se corre ao usar. Não menos importante, a Prova Real será comentada por último.

Segredo da Prova dos Noves
[Imagem: Wikipedia]


Para realizar a prova dos noves, iremos tomar um exemplo bem simples: 367 + 483 = 850.

Para cada uma das parcelas e da soma, some um algarismo ao outro até obter um único número. Se este for nove, subtraia nove do resultado final. Assim:

3 + 6 + 7 = 16 à 1 + 6 = 7
(como 7 é menor do que 9, não subtraia 9 deste valor)
4 + 8 + 3 = 15 à 1 + 5 = 6
(como é 6 menor do que 9, não subtraia 9 deste valor)
8 + 5 + 0 = 13 à 1 + 3 = 4
(como é 4 menor do que 9, não subtraia 9 deste valor)

Agora some os valores obtidos para as parcelas e compare com aquele obtido para a soma, repetindo o mesmo processo:

7 + 6 = 13 à 1 + 3 = 4
8 + 5 + 0 = 13 à 1 + 3 = 4
4 = 4

Caso haja igualdade, este é um forte indicativo de que a resposta está correta.

Por que a Prova dos Noves é válida?

Os números na base 10 são formados a partir de produtos de números inteiros que multiplicam potências de 10. Por exemplo:

359 = 3 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 9
ou
359 = 3 ∙ 10² + 5 ∙ 101 + 9 ∙ 100
359 = (3 ∙ 10²) + (5 ∙ 101) + (9 ∙ 100)

Sendo m um número natural pertencente a IN, o resto da divisão por nove deste número m vezes uma potência de 10 elevada a k é igual a ele mesmo. Ou seja:

m ∙ 10k = m00∙∙∙∙0
m00∙∙∙∙0 | 9_
m         d

Em aritmética modular diríamos que m ∙ 10k é congruente a m módulo 9, o que significa que ambos têm o mesmo resto na divisão por 9.

m ∙ 10k = m mod 9

Na prova dos noves, então, quando somamos os algarismos, na verdade somamos os restos da divisão por 9. Pelos princípios da aritmética modular, o resto da soma é igual ao resto da soma dos restos, ou seja, dado um número a e outro número b:

a j mod w
b l mod w
(a + b) ≡ (j + l) mod w

Não demonstraremos aqui a validade desta propriedade. Usando novamente o exemplo inicial, agora iremos fazer um paralelo entre o que parecia estar sendo feito e o que realmente ocorreu, descrito pela aritmética modular.

3 + 6 + 7 = 16 à 1 + 6 = 7 (Prova dos Noves)

367 = (3 ∙ 10²) + (6 ∙ 101) + (7 ∙ 100)
367 ≡ [(3 ∙ 10²) mod 9 + (6 ∙ 101) mod 9  + (7 ∙ 100) mod 9]
367 ≡ [3 mod 9 + 6 mod 9  + 7 mod 9]
367 ≡ [3 + 6 + 7 ] mod 9
367 ≡ 7 mod 9 (Aritmética modular)

4 + 8 + 3 = 15 à 1 + 5 = 6 (Prova dos Noves)

483 = (4 ∙ 10²) + (8 ∙ 101) + (3 ∙ 100)
483 ≡ [(4 ∙ 10²) mod 9 + (8 ∙ 101) mod 9  + (3 ∙ 100) mod 9]
483 ≡ [4 mod 9 + 8 mod 9  + 3 mod 9]
483 ≡ [4 + 8 + 3 ] mod 9
483 ≡ 6 mod 9 (Aritmética modular)

8 + 5 + 0 = 13 à 1 + 3 = 4 (Prova dos Noves)

850 = (8 ∙ 10²) + (5 ∙ 101) + (0 ∙ 100)
850 ≡ [(8 ∙ 10²) mod 9 + (5 ∙ 101) mod 9  + (0 ∙ 100) mod 9]
850 ≡ [8 mod 9 + 5 mod 9  + 0 mod 9]
850 ≡ [8 + 5 + 0 ] mod 9
850 ≡ 4 mod 9 (Aritmética modular)

Verificação:

7 + 6 = 13 à 1 + 3 = 4
8 + 5 + 0 = 13 à 1 + 3 = 4
4 = 4 ✔ (Prova dos noves)

850 ≡ (367 mod 9 + 483 mod 9)
850 ≡ (7 mod 9 + 6 mod 9)
850 ≡ (7 + 6) mod 9
4 ≡ (7 + 6) mod 9
850 ≡ 4 mod 9 ✔ (Aritmética Modular)

A Prova dos noves dá 100% de certeza?

Não, mas é um forte indicativo. Como se pode perceber até aqui, há um aparato bem forte de aritmética modular que fundamenta a Prova dos Noves. O problema é que, caso o resultado da soma (ou subtração, basta subtrair os valores obtidos de cada parcela e comparar ao valor final, similar ao feito para conferir a soma) esteja errado, mas dê um mesmo resto da divisão por 9 do que o resultado correto, pode ser mascarado o erro. Sugere-se também fazer uma Prova Real.

A prova Real

Uma Prova Real não possui coroa 👑 nem gera expectativas nos britânicos 😀. Consiste em saber operações inversas e verificar se é obtido um valor inicial conhecido o outro:

- A Prova Real da Adição consiste em subtrair uma das parcelas da soma buscando como resultado a outra parcela, e vice-versa;

- A Prova Real da Multiplicação consiste em dividir o produto por um dos fatores buscando encontrar o outro, e vice-versa;

- A Prova Real da Exponenciação consiste em aplicar um Logaritmo de mesma base e verificar se o valor encontrado é igual ao expoente inicial;

- A Prova Real da Potenciação consiste em aplicar a enésima raiz da potência buscando obter a base inicial;

- A Prova Real da Diferenciação consiste em aplicar a Integração da Função obtida, dada uma condição de contorno, buscando obter a função inicial.






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