Aritmética modular, ou o ‘resto’ no centro das atenções

Matemática


Números inteiros, decimais, fracionários, funções trigonométricas, grafos, vetores, integração e derivação. Cada conjunto numérico ou operação matemática possui um campo de aplicação vasto, podendo ter inter-relacionamento. Às vezes, pode não ser o resultado exato de uma divisão que seja de interessa, mas sim o famoso ‘resto’ da divisão. Situações cíclicas, complementação de valores, dígitos verificadores em códigos de barras e muitas outras aplicações se utilizam da Aritmética Modular. 

Matemática
[Imagem: Local Bozo]


Como notação básica, tem-se:

X ≡ Y mod Z

Onde se lê: X é congruente Y módulo Z, o que significa que X e Y possuem o mesmo resto na divisão por Z. Algumas propriedades importantes existem entre estes números:

1) Se um número é múltiplo de Z, será congruente 0 módulo Z;

2) Sendo X e Y não múltiplos de Z e tendo o mesmo resto nesta divisão, a diferença (X – Y) ou (Y – X) é um múltiplo de Z, ou seja, (X – Y) ≡ 0 mod Z;

3) Se X ≡ Y mod Z e A ≡ B mod Z, (X + A) ≡ (Y + B) mod Z;

4) Para saber quantos números em um intervalo deixam o mesmo resto na divisão por Z, ou seja, são congruentes por um mesmo Y módulo Z, basta somar Z unidades ao primeiro ‘X’ desta lista;

5) Como resto na divisão por Z, tem-se apenas naturais variando de 0 a Z – 1. Da mesma forma, Y varia entre estes valores.

Vejamos alguns problemas em que aplicamos a aritmética modular (veja nos posts sugeridos o exemplo da data no futuro, uma excelente e curiosa aplicação):

Ex 1) Eu tenho um código de barras da Mestrelândia onde há 9 dígitos aleatórios e outro dígito verificador. Esse dígito é dado pela base 11 (Z). Se estes primeiros dígitos forem 1234489012, qual o décimo dígito?

R: Geralmente um dígito verificador parte do resto da divisão pela soma dos demais algarismos, Assim, neste caso, 1+2+3+4+4+8+9+0+1+2 = 34 ≡ 1 mod 11. Por esta regra, o dígito verificador seria 1.

Ex 2) Se agora são 16:00, que horas serão quando se passarem 434 horas?

R: Neste caso, trabalhar com horas não faz muito sentido. Assim, podemos pensar como valor de Z o número 24, que corresponde a um dia. 434 ≡ 2 mod 24, ou seja, além de 18 dias inteiros, passar-se-ão mais duas horas – destarte, serão 18:00.
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