O desafio do tabuleiro 5 x 5

 Matemática

 

Vamos a mais um desafio proposto pela OBMEP, onde temos um tabuleiro 5 x 5, com vértices marcados A, B, C, D, E, F e G. A ideia é descobrir a soma da medida dos ângulos ACB, ADB, AEB, AFB e AGB.

 

Vamos descobrir como resolver esse problema?

 

[Post com o desafio matemático. Imagem: OBMEP | Reprodução]

 

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SENO, COSSENO E TANGENTE

 

Dentro de um triângulo-retângulo, existem algumas associações entre os ângulos e as medidas. Consideram-se os lados (catetos) e a hipotenusa.

 

Para um dos dois ângulos que não sejam o próprio ângulo reto, tem-se:

 

seno = cateto oposto / hipotenusa

cosseno = cateto adjacente / hipotenusa

tangente = cateto oposto / cateto adjacente

 

RESOLVENDO POR TRIGONOMETRIA

 

Vamos usar os conceitos que explicamos há pouco para definir qual a soma de ângulos que queremos. Para isso, pensaremos numa série de triângulos-retângulos com vértices em A, no lado superior, em C, D, E, F e G e ângulo reto na reta que contém o segmento AB.

 

Para o ângulo ACB:

 

<ACB = arctan (1/5) = 11,31°

 

Calculando os demais ângulos, sempre descontamos o anterior:

 

<ADB = arctan (2/5) - arctan (1/5) = 10,49°

<AEB = arctan (3/5) - arctan (2/5) = 9,16°

<AFB = arctan (4/5) - arctan (3/5) = 7,69°

<AGB = arctan (5/5) - arctan (4/5) = 6,34°

 

Somando, temos: 11,31 + 10,49 + 9,16 + 7,69 + 6,34 = 44,99°, que é uma conta com arredondamentos e, portanto, erros.

 

Para termos um resultado melhor, vamos somar algebricamente e só calcular o valor numérico ao final:

 

<ACB + <ADB + <AEB + <AFB + <AGB = S

S = arctan (1/5) + ((arctan (2/5) - arctan (1/5)) + (arctan (3/5) - arctan (2/5)) + (arctan (4/5) - arctan (3/5)) + (arctan (5/5) - arctan (4/5)) 

 

Cancelando os termos:

 

S = arctan (1/5) + ((arctan (2/5) - arctan (1/5)) + (arctan (3/5) - arctan (2/5)) + (arctan (4/5) - arctan (3/5)) + (arctan (5/5) - arctan (4/5)) 

 

S = arctan (5/5) = 45°.

 

CONSIDERAR OS ÂNGULOS SEPARADOS POR BISSETRIZES SERIA CORRETO?

 

Não, pois como vimos o ângulo ACB é diferente de ADB, por exemplo. Isso faz com que calcular o ângulo por um triângulo retângulo e arco tangente e dividir por dois o ângulo obtido leve a erros. Nesse raciocínio, a resposta vai a mais de 51°.

 

FALANDO AINDA DE MATEMÁTICA, E DE HISTÓRIA

 

Os instrumentos matemáticos e conhecimentos que hoje existem surgiram de um longo período de desenvolvimento, em paralelo com a humanidade. Na sugestão de post da linha azul 👇🏻, você conhece um exemplo histórico dessa evolução, num objeto matemático importantíssimo:

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