Termina em cinco

 Matemática

 

Vamos trazer a resolução de mais um desafio da OBMEP para você ver e curtir. Você saberia dizer qual o último dígito da fração a seguir?

 

400! / (200! • 2²⁰⁰)

 

[São cinco, pelo menos por aqui. Imagem: Evgeniy Alekseyev / Pexels | Reprodução]

 

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O QUE PRECISA PARA RESOLVER?

 

Para simplificar expressões em frações, você não precisa fazer todas as contas de fatorial para então dividir. A principal ideia está na fatoração, isto é, transformar os números num produto de fatores e então "cancelar" fatores presentes no numerador e no denominador.

 

A ideia de fatorar é válida porque caso você tenha um mesmo fator N no numerador e no denominador:

 

N/N = 1

 

VAMOS À RESOLUÇÃO?

 

A expressão 400! / (200! • 2²⁰⁰) pode ser fatorada. Vamos escrever o que é o numerador:

 

400! = 1 • 2 • 3 • ‧‧‧ • 399 • 400.

 

Podemos reescrever esse produto. Que tal separar os dígitos pares dos ímpares? Esse é aquele momento que você pensa - como alguém tirou-isso-da-cartola?

 

400! = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399) • (2 • 4 • 6 • ‧‧‧ • 398 • 400)

 

Se observarmos o segundo conjunto de fatores, temos números pares, os quais podemos desdobrar em vários fatores dois:

 

400! = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399) • [(2 • 1) • (2 • 2) • (2 • 3) • ‧‧‧ • (2 • 199) • (2 • 200)]

 

São duzentos fatores dois na expressão. Podemos, assim, simplificar para:

 

400! = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399) • 2²⁰⁰ • (1 • 2 • 3 • ‧‧‧ • 199 • 200)

 

Ao fazermos isso, vemos um fator de (1 • 2 • 3 • ‧‧‧ • 199 • 200), que é exatamente 200!. Ao substituir, temos:

 

400! = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399) • 2²⁰⁰ • 200!

 

Feito isso, vamos substituir na expressão original:

 

400! / (200! • 2²⁰⁰) = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399) • 2²⁰⁰ • 200! / (200! • 2²⁰⁰)

 

Cancelando os fatores comuns no numerador e denominador:

 

400! / (200! • 2²⁰⁰) = (1 • 3 • 5 • ‧‧‧ • 397 • 399)

 

Esse é um produto entre fatores ímpares. No meio deles, temos um cinco. Lembre-se que na tabuada do cinco, os resultados são sempre terminados em zero (cinco vezes um número par) ou em cinco (no produto com números ímpares). Disso, concluímos que o último dígito seria cinco.

 

O RECURSO QUE USAMOS NESSE PROBLEMA

 

Fizemos algumas fatorações para que conseguíssemos resolver esse problema matemático. Na sugestão de post da linha azul 👇🏻, você pode saber ainda mais sobre esse tema:

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E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 Fatoração como facilitação

 

 

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