Fatoração como Facilitação

Matemática

A fatoração consiste em, usando as propriedades da soma, multiplicação e potenciação, simplificar a resolução de expressões numéricas ou algébricas. No caso das expressões algébricas, a facilidade vem após conhecer os padrões algébricos de formação de um conjunto de termos. Começaremos falando sobre a fatoração algébrica. 

[Imagem: Iguaria]

» Aritmética modular, ou o resto no centro das atenções

» O Desafio dos Quadrados

» Prioridades Matemáticas

Na fatoração algébrica, temos que caminhar de trás para frente. Tendo uma expressão algébrica bagunçada, ou que não permite uma resolução mais simples, faz-se este caminho. Alguns exemplos:

Fator comum:

ax + bx  (a + b) ∙ x

Polinômios:

ax² + bx + c  (x – d) ∙ (x – e) com d + e = (-b / a) e d ∙ e = (c / a)

Produto da soma pela diferença:

x² - y²  (x + y) ∙ (x – y)

Quadrado da soma ou da diferença:

a²x² ±2abx²y² + b²y²  (ax ± by)²

Produto de ‘chuveirinho’:

ax + bx + ay + by  (a + b) ∙ (x + y)

Trinômio perfeito:

x³ ± 3x²y + 3xy² ± y³  (x ± y)³

(Lembrando que o sinal de mais ou menos é o mesmo quando adotado um ou outro em toda a expressão).

Isto pode ser útil na busca se soluções (elementos do conjunto verdade ou solução) para os quais uma destas equações é igual a zero; durante a soma de uma ou mais equações, levando a uma expressão muito mais simples; ou mesmo na simplificação de uma fração com numeradores e denominadores algébricos. Ainda se pode citar a racionalização de equações, onde uma fração com numerador e denominador (o conjugado) é multiplicada por outra.

Já na fatoração numérica, os princípios acima também podem ser seguidos, porém em substituição de incógnitas por valores numéricos. Mas, vale lembrar que o valor numérico deve ser substituído ao fim dos cálculos, quando se obter a expressão mais simples possível, para evitar propagar erros. Na fatoração numérica é acrescentado um princípio básico: o de que os números são compostos por números primos ou simplesmente que podem ser decompostos por outros fatores menores e mais simples.

A técnica da fatoração numérica ajuda quando se tem alguma prova ou exame oficial, no qual não se dispõe de calculadora e ainda assim é preciso fazer alguma conta com ‘números grandes’. Por exemplo, na divisão de (32 + 56)/48:

(32 + 56)/48

(2⁵ + 2³ ∙ 7)/(3 ∙ 2⁴)

[2³ ∙ (2² + 7)]/[2³ ∙ (3 ∙ 2)]

[2³ ∙ (2² + 7)]/[2³ ∙ (3 ∙ 2)]

[2² + 7]/[3 ∙ 2]

11/6 (fração irredutível) ou 1 + 5/6 ou 1,83 [com período (repetição) do 3, não é divisão exata].

□

E ainda mais para você: As progressões aritméticas, e a soma dos números de 1 a 100

GOSTOU DESTA POSTAGEM ☺? USANDO A BARRA DE BOTÕES, COMPARTILHE COM SEUS AMIGOS 😉!