Fatoração como Facilitação

watch_later 13 de maio de 2016
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Matemática


A fatoração consiste em, usando as propriedades da soma, multiplicação e potenciação, simplificar a resolução de expressões numéricas ou algébricas. No caso das expressões algébricas, a facilidade vem após conhecer os padrões algébricos de formação de um conjunto de termos. Começaremos falando sobre a fatoração algébrica. 

Matemática
[Imagem: Iguaria]


Na fatoração algébrica, temos que caminhar de trás para frente. Tendo uma expressão algébrica bagunçada, ou que não permite uma resolução mais simples, faz-se este caminho. Alguns exemplos:
Fator comum:
ax + bx è (a + b) ∙ x

Polinômios:
ax² + bx + c è (x – d) ∙ (x – e) com d + e = (-b / a) e d ∙ e = (c / a)

Produto da soma pela diferença:
x² - y² è (x + y) ∙ (x – y)

Quadrado da soma ou da diferença:
a²x² ±2abx²y² + b²y² è (ax ± by)²

Produto de ‘chuveirinho’:
ax + bx + ay + by è (a + b) ∙ (x + y)

Trinômio perfeito:
x³ ± 3x²y + 3xy² ± y³ è (x ± y)³

(Lembrando que o sinal de mais ou menos é o mesmo quando adotado um ou outro em toda a expressão).

Isto pode ser útil na busca se soluções (elementos do conjunto verdade ou solução) para os quais uma destas equações é igual a zero; durante a soma de uma ou mais equações, levando a uma expressão muito mais simples; ou mesmo na simplificação de uma fração com numeradores e denominadores algébricos. Ainda se pode citar a racionalização de equações, onde uma fração com numerador e denominador (o conjugado) é multiplicada por outra.

Já na fatoração numérica, os princípios acima também podem ser seguidos, porém em substituição de incógnitas por valores numéricos. Mas, vale lembrar que o valor numérico deve ser substituído ao fim dos cálculos, quando se obter a expressão mais simples possível, para evitar propagar erros. Na fatoração numérica é acrescentado um princípio básico: o de que os números são compostos por números primos ou simplesmente que podem ser decompostos por outros fatores menores e mais simples.

A técnica da fatoração numérica ajuda quando se tem alguma prova ou exame oficial, no qual não se dispõe de calculadora e ainda assim é preciso fazer alguma conta com ‘números grandes’. Por exemplo, na divisão de (32 + 56)/48:

(32 + 56)/48

(25 + 2³ ∙ 7)/(3 ∙ 24)

[2³ ∙ (2² + 7)]/[2³ ∙ (3 ∙ 2)]

[ ∙ (2² + 7)]/[ ∙ (3 ∙ 2)]

[2² + 7]/[3 ∙ 2]

11/6 (fração irredutível) ou 1 + 5/6 ou 1,83 [com período (repetição) do 3, não é divisão exata].






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