Os sólidos de revolução e a definição de volumes

Matemática

 

O mundo se estuda no plano (no computador, livro ou caderno), mas se vive no 3D. Assim, o volume é uma variável bem importante no mundo cotidiano, e que podemos definir utilizando integrais definidas. Um caso típico seria estabelecer o volume de uma bombona de água: ela possui certo relevo, constante em torno de um eixo, e você não precisaria colocar água dentro dela para saber qual o volume interno. Vamos entender mais como isso é possível!

 

 

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O QUE É UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO?

 

O sólido de revolução é um sólido geométrico obtido com a rotação de uma figura plana em torno de um eixo. Essa figura plana pode ser uma função constante, cuja área entre um eixo e a função formaria um retângulo, pode ser uma função linear (gerando um triângulo, ou um trapézio), ou uma função f(x) qualquer, cuja área sob a curva seria representada por uma integral ∫f(x) dx no intervalo [a, b].

 

[Ilustração, no espaço, dos sólidos de revolução. Imagem: e-scola / Reprodução]

 

 

As figuras resultantes podem ser diversas, como cilindros, cones, esferas, até formas complexas. O único fato importante é que, transversalmente ao eixo de revolução, sempre será obtidos círculos.

 

DO DISCRETO AO INFINITESIMAL: A FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VOLUME

 

A ideia para calcular as integrais de revolução é similar ao que pensamos para entender o cálculo de uma integral, que é a área sob uma curva. Vendo o processo de forma discreta, a integral seria isso:

 

[O princípio da Integral. Imagem: O Blog do Mestre]

 

Alguns intervalos iguais, com altura equivalente ao ponto médio no intervalo, dariam a integral discreta. Esse ponto médio também representaria o raio R de cada cilindro calculado. O volume do sólido de revolução seria a soma dos volumes de cada cilindro, que são:

 

V_cilindro = πR²h

 

A altura h equivale ao intervalo ∆x, e o raio R ao valor de f(x) médio no intervalo. Considerando que temos uma soma desses intervalos:

 

 V = ∑π[f(x)]² ∆x

V = π ∑[f(x)]² ∆x

 

Quando o intervalo ∆x tende a zero, temos um limite, o que nos leva para a integral:

 

V = π ∫[f(x)]² dx

 

VARIANTES PARA VAZIOS INTERNOS (DIFERENÇA ENTRE FUNÇÕES)

 

Quando temos um vazio interno no sólido geométrico, podemos representá-lo por uma segunda função, e fazer a diferença entre o volume da superfície interna e externa. Se temos uma função f(x) sempre maior do que g(x), podemos fazer o seguinte:

 

V = π ∫[f(x)]² dx - π ∫[g(x)]² dx

V = π ∫{[f(x)]² - [g(x)]²} dx

 

Aqui chegamos ao ponto de nossa pergunta inicial. O volume interno, ou seja, a capacidade da bombona, nada mais é do que uma função g(x) compondo um sólido de revolução. O volume de plástico para fazer a bombona, por sua vez, é a diferença entre os volumes dos sólidos formados por f(x) e g(x), sendo f(x) > g(x) ꓯ x E IR. No próximo post de matemática, vamos ver alguns exemplos dessa aplicação da integral definida.

 

E PARA SÓLIDOS GEOMÉTRICOS MAIS SIMPLES?

 

Quando temos formas mais complexas e aplicações mais robustas, trabalhamos com integrais. Por outro lado, quando você tem uma esfera ou um cubo, já usa fórmulas simplificadas, conhecendo os aspectos do sólido geométrico. Na sugestão de post da linha azul 👇🏻, separamos um post onde você fica sabendo mais sobre esses sólidos geométricos e já entende se a Terra é plana ou “redonda”:

 

 

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E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 A Terra é plana ou é redonda?

 

 

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