Continuidade de funções

Matemática

Uma função contínua se assemelha a um barbante solto sobre uma folha de papel. Espera-se que o traçado formado pelo barbante não apresente vãos abertos nem sobressaltos. As funções contínuas em um intervalo I = [a, b] não possuem “saltos” de gráfico em um ponto de abscissa c qualquer (pertencente a I), e atendem a algumas características. 

[Gráfico da função h(x) = x⁵ + 5x + 6. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]

» Teoremas de Rolle e do valor médio

» Teorema do valor extremo

» A derivada

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Antes de retomar o tema continuidade, vamos falar sobre Limites, que são a tendência de valor de uma função g(x) em um ponto qualquer. Podemos considerar essa tendência a partir de valores menores do que a abscissa do ponto (limite à esquerda, representado pelo sinal negativo), ou maiores do que o ponto em questão (limite à direita, representado por sinal positivo).

Considerando a continuidade em um ponto “c”, uma função f(x) deverá atender as seguintes regras, ao mesmo tempo:

1) c deve pertencer ao domínio de f(x);

2)  Existe lim _{x → c} f(x);

3)  O lim _{x → c} f(x) é igual a f(c).

Há ainda uma quarta “regra”, que envolve os limites laterais, que devem ser iguais ao valor de f(c), tanto vindo da esquerda, como da direita, respectivamente:

4) lim _{x → c -} f(x) = lim _{x → c +} f(x) = f(c).

 Quando falamos em continuidade lateral em um ponto “c”, há uma pequena diferença. A função será contínua à direita de c se o limite à direita for igual a f(c), e o limite à esquerda não.  Quando a função é contínua à esquerda, ocorre o oposto.

Ao estendermos o conceito de continuidade para intervalos, os pontos de extremo possuem continuidade lateral (a menor abscissa continuidade à direita e a maior abscissa continuidade à esquerda). E, por fim, podem existir funções que são contínuas em todo o domínio, como as polinomiais, racionais, funções raiz, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Ao realizarmos operações com funções contínuas em um ponto c, as quais chamaremos de f(x) e g(x), considerando uma constante k, tem-se que f + g, f – g, k ∙ f, k ∙ g, f ∙ g e f/g também serão funções contínuas em c.

A continuidade de uma função pode ser um indício de que a mesma é diferenciável (possui derivada) naquele ponto. Entretanto, não é indicativo isolado, como ocorre com a função modular f(x) = | x |. Ela é contínua no ponto (0,0), mas não é diferenciável nesse ponto.

Veremos alguns exemplos de continuidade e tipos de descontinuidades em um novo post, a ser publicado em breve. Aguarde!

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👉 E ainda mais para você: A função modular

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