Funções definidas por partes

 Matemática

 

As funções definidas por partes são simples de compreender se pensarmos no conceito de funções, que consistem em expressões matemáticas que relacionam um ou mais valores de entrada e resultam em um valor de saída. Nessa postagem, vamos entender um pouco mais sobre as funções definidas por partes.

 

 

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COMO QUE É UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES?

 

Numa função convencional, a expressão que define a função é válida para todo o domínio daquela função. Nas funções definidas por partes, tem-se uma função com expressões diferentes para intervalos do domínio. Por exemplo:

 

f(x) = {2x se x ≥ 2; x² se x < 2}

g(x) = {(5x - 2) se x > 0;7 se x = 0; 2x³ se x < 0}

 

 Numa função assim, o ponto de limite entre uma expressão e outra pode coincidir ou não. Quando não coincide, representamos pelo ponto cheio na expressão em que o ponto está contido, e o ponto apenas contornado onde não vale a expressão.

 

 

[Imagem de uma função definida por partes em que não coincide o ponto limite. Imagem: O Blog do Mestre]

 

 

 

UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES É CONTÍNUA OU DESCONTÍNUA?

 

 Como apresentou-se na figura logo acima, uma função definida por partes pode ser descontínua, ou seja, o gráfico da função possui pontos onde ocorre a mudança brusca do gráfico (desconectando-o) ou para os quais a função não está definida. Também é possível que a função mantenha a continuidade. Vamos deixar um outro post nosso de sugestão para você saber mais sobre continuidade de funções.

 

COMO FICA A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ASSIM?

 

Para que uma função seja derivável/diferenciável em um dado ponto, é preciso que ela seja contínua naquele ponto. Nem toda função contínua é diferenciável (possui uma derivada), mas as funções que contêm derivadas são contínuas.

 

Com isso, o primeiro passo é verificar se existe descontinuidade na função definida por partes. Nesse caso, os limites laterais não coincidem, ou o gráfico aponta a descontinuidade.

 

O segundo passo é definir as derivadas das funções à direita ou à esquerda do ponto. A derivada é um tipo de limite, e limites em um ponto existem quando os limites à direita e à esquerda coincidem. Se esses limites coincidirem, a função derivada existe naquele ponto. Vamos a um exemplo:

 

f(x) = {2x se x ≥ 2; x² se x < 2}

Se x ≥ 2, f’(x) = 2;

Se x < 2, f’(x) = 2x.

Considerando x = 2, esquerda: f’(2) = 2 • 2 = 4.

Considerando x = 2, direita: f’(2) = 2.

 

Como as derivadas à direita e à esquerda não coincidem, a função não é diferenciável naquele ponto.

 

CASOS DE FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES

 

Existem diferentes tipos de funções definidas por partes que existem. Uma clássica é a tabela do imposto de renda. Ela é definida assim (considerando 2020):

 

I.R.(x) = {[...]  7,5 % se 2.826,65 ≥ x ≥ 1.903,99; 0 % se x < 1.903,98}

x = renda, I.R. (x) = imposto a pagar segundo a renda.

 

Outro caso está nos estudos de análises estruturais, que verificam a deformação elástica ou plástica. No trecho de comportamento elástico, a deformação é reversível e proporcional ao esforço aplicado, formando uma reta inclinada. Os outros trechos da função, onde ela é curva e corresponde às deformações plásticas, possuem gráfico diferente.

 

A função modular também seria um tipo de função definida por partes:

 

| x | = {x se x ≥ 0; - x se x < 0}

 

SERÁ QUE O MEME DO CIÚME ESTÁ CERTO?

 

O domínio de funções é parte importante para o entendimento delas, sendo ou não definidas por partes. Falamos um pouco mais sobre definir domínios nesse post da linha azul 👇🏻, onde verificamos se era exagero ou não o que vimos no meme do ciúme (pode não parecer, mas existe uma discussão matemática interessante):

 

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E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 Domínio de funções e o meme do ciúme

 

 

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