Matemática

 

As funções definidas por partes são simples de compreender se pensarmos no conceito de funções, que consistem em expressões matemáticas que relacionam um ou mais valores de entrada e resultam em um valor de saída. Nessa postagem, vamos entender um pouco mais sobre as funções definidas por partes.

 

 

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COMO QUE É UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES?

 

Numa função convencional, a expressão que define a função é válida para todo o domínio daquela função. Nas funções definidas por partes, tem-se uma função com expressões diferentes para intervalos do domínio. Por exemplo:

 

f(x) = {2x se x ≥ 2; x² se x < 2}

g(x) = {(5x - 2) se x > 0;7 se x = 0; 2x³ se x < 0}

 

 Numa função assim, o ponto de limite entre uma expressão e outra pode coincidir ou não. Quando não coincide, representamos pelo ponto cheio na expressão em que o ponto está contido, e o ponto apenas contornado onde não vale a expressão.

 

 

Gráfico de uma função definida por partes com duas expressões distintas e descontinuidade
[Imagem de uma função definida por partes em que não coincide o ponto limite. Imagem: O Blog do Mestre]


 

 

 

UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES É CONTÍNUA OU DESCONTÍNUA?

 

 Como apresentou-se na figura logo acima, uma função definida por partes pode ser descontínua, ou seja, o gráfico da função possui pontos onde ocorre a mudança brusca do gráfico (desconectando-o) ou para os quais a função não está definida. Também é possível que a função mantenha a continuidade. Vamos deixar um outro post nosso de sugestão para você saber mais sobre continuidade de funções.

 

COMO FICA A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ASSIM?

 

Para que uma função seja derivável/diferenciável em um dado ponto, é preciso que ela seja contínua naquele ponto. Nem toda função contínua é diferenciável (possui uma derivada), mas as funções que contêm derivadas são contínuas.

 

Com isso, o primeiro passo é verificar se existe descontinuidade na função definida por partes. Nesse caso, os limites laterais não coincidem, ou o gráfico aponta a descontinuidade.

 

O segundo passo é definir as derivadas das funções à direita ou à esquerda do ponto. A derivada é um tipo de limite, e limites em um ponto existem quando os limites à direita e à esquerda coincidem. Se esses limites coincidirem, a função derivada existe naquele ponto. Vamos a um exemplo:

 

f(x) = {2x se x ≥ 2; x² se x < 2}

Se x ≥ 2, f’(x) = 2;

Se x < 2, f’(x) = 2x.

Considerando x = 2, esquerda: f’(2) = 2 • 2 = 4.

Considerando x = 2, direita: f’(2) = 2.

 

Como as derivadas à direita e à esquerda não coincidem, a função não é diferenciável naquele ponto.

 

CASOS DE FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES

 

Existem diferentes tipos de funções definidas por partes que existem. Uma clássica é a tabela do imposto de renda. Ela é definida assim (considerando 2020):

 

I.R.(x) = {[...]  7,5 % se 2.826,65 ≥ x ≥ 1.903,99; 0 % se x < 1.903,98}

x = renda, I.R. (x) = imposto a pagar segundo a renda.

 

Outro caso está nos estudos de análises estruturais, que verificam a deformação elástica ou plástica. No trecho de comportamento elástico, a deformação é reversível e proporcional ao esforço aplicado, formando uma reta inclinada. Os outros trechos da função, onde ela é curva e corresponde às deformações plásticas, possuem gráfico diferente.

 

A função modular também seria um tipo de função definida por partes:

 

| x | = {x se x ≥ 0; - x se x < 0}

 

SERÁ QUE O MEME DO CIÚME ESTÁ CERTO?

 

O domínio de funções é parte importante para o entendimento delas, sendo ou não definidas por partes. Falamos um pouco mais sobre definir domínios nesse post da linha azul 👇🏻, onde verificamos se era exagero ou não o que vimos no meme do ciúme (pode não parecer, mas existe uma discussão matemática interessante):

 

 

E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 Domínio de funções e o meme do ciúme

 

 

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