Derivação, integração e as equações do MRV e MRUV

Matemática

 

Quando aprendemos as equações de movimento no ensino médio, acreditamos que não seria necessário decorar todas aquelas equações. De fato, não seria preciso decorar, se soubéssemos desde aquela época sobre derivação e integração.

 

Como não aprendemos essa interessante parte da matemática, ficamos sem saber como se chegou àquelas equações, e ficamos reféns daqueles macetes de decorar (como o famoso “sorvete”). Se você já passou pelo ensino médio e vai para a área de exatas, fique e aprenda mais. Se você ainda está no ensino médio, tenha uma primeira experiência com derivação e integração, e entenda de onde vêm aquelas fórmulas que você aprende!

 

 

[MRV durante o movimento e MRUV na frenagem. Imagem: Andréa Bettanin – UFRGS/Reprodução]

 

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AS VARIÁVEIS DE POSIÇÃO E DE MOVIMENTO

 

Na Física, dentre diversas variáveis, três são básicas para descrever um movimento: posição, velocidade e aceleração. A posição indica onde o objeto está num instante, em um dado sistema de referência. Quando o objeto se move linearmente, podemos dizer que essa posição seria x(t).

 

A velocidade v(t) é a variação da posição x(t) ao longo do tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade é a derivada de primeira ordem de x(t) em relação a t, ou ainda que x(t) é a integral de v(t) em relação ao tempo:

 

v(t) = x’(t)

x(t) = ∫v(t)dt

 

Já a aceleração a(t) é a variação da velocidade v(t) em relação ao tempo. Expressando em função de funções derivadas e primitivas (integrais), a(t) é a função derivada de v(t), ou v(t) é a primitiva de a(t) em relação ao tempo. A aceleração a(t) é a derivada de segunda ordem de x(t), portanto.

 

a(t) = v’(t)

a(t) = x’’(t)

v(t) = ∫a(t)dt

 

O MRV

 

No movimento retilíneo variado (MRV), temos a condição especial de que a aceleração é nula, ou seja:

 

a(t) = 0

 

Esse movimento é variado porque há mudança de posição do corpo ao longo do tempo e, se existe mudança de posição, a velocidade é não nula. Para obtermos a equação da velocidade, vamos resolver a integral:

 

v(t) = ∫a(t)dt

v(t) = at + C

 

C é uma constante, pois estamos resolvendo uma integral indefinida, e a aceleração a é nula. Assim:

 

v(t) = 0 • t + C

v(t) = C

 

Vamos chamar a constante C, por facilidade, de v:

 

v(t) = v

 

Agora, novamente por integração, vamos descobrir qual será a função posição:

 

x(t) = ∫v(t)dt

x(t) = vt + C’

 

A constante C’ está aqui porque estamos em uma integral indefinida.  Note que essa constante, somada ao produto de velocidade pelo tempo, resulta na posição do corpo. Assim, se estamos no tempo zero:

 

x(0) = v • 0 + C’

x(0) = C’

 

E notamos que a constante C’ é justamente a posição no momento inicial, quanto t = 0. Não costumamos falar em x(0), mas convencionar que C’ = x₀. Com isso:

 

x(t) = vt + x₀

x(t) = x₀ + vt

 

Assim, para o MRV (movimento retilíneo variado):

 

a(t) = 0

v(t) = v

x(t) = x₀ + vt

 

O MRUV

 

No movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é constante, mas não nula. Isso faz com que haja variação uniforme de velocidade com o passar do tempo t.

 

v(t) = ∫a(t)dt

v(t) = at + k

 

k é uma constante, pois estamos resolvendo uma integral indefinida, e a aceleração a é constante. Vamos considerar o instante t = 0 para saber qual o valor de k:

 

v(0) = a • 0 + k

v(0) = k

 

A constante k é justamente a velocidade no instante zero. Costuma-se chamar essa velocidade de v₀. Com isso,

 

v(t) = at + v₀

v(t) = v₀ + at

 

Queremos conhecer a função que dá a posição x(t):

 

x(t) = ∫v(t)dt

x(t) = ∫(v₀ + at) dt

x(t) = v₀t + (at²)/2 + k’

 

Calculando a posição no instante t = 0, encontraremos o valor de k’:

 

x(0) = v₀ • 0 + (a(0)²)/2 + k’

x(0) = k’

 

E notamos que a constante k’ é justamente a posição no momento inicial, quanto t = 0. Não costumamos falar em x(0), mas convencionar que k’ = x₀. Com isso:

 

x(t) = v₀t + (at²)/2 + x₀

x(t) = x₀ + v₀t + (at²)/2

 

Assim, para o MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado):

 

a(t) = a

v(t) = v₀ + at

x(t) = x₀ + v₀t + (at²)/2

 

DESLOCAMENTO

 

O Deslocamento, nos movimentos retilíneos (MRV e MRUV) nada mais é do que a diferença de posição nos instantes inicial (0) e final (t) que estamos considerando, ou seja:

 

∆x = x(t) - x₀

 

Assim, para o deslocamento,

 

NO MRV:

 

x(t) = x₀ + vt

x(t) - x₀ = vt

∆x = vt

 

NO MRUV:

 

x(t) = x₀ + v₀t + (at²)/2

x(t) - x₀ = v₀t + (at²)/2

∆x = v₀t + (at²)/2

 

OUTROS TIPOS DE MOVIMENTO

 

Para outros tipos de movimento, são válidas as relações entre aceleração, velocidade e posição, sendo posição a função primitiva e velocidade e aceleração funções derivadas. As relações matemáticas que expressam x(t), v(t) e a(t) é que podem ser mais complexas, de acordo com a modelagem dos movimentos.

 

A NOTAÇÃO CIENTÍFICA

 

Quando desejamos fazer operações matemáticas, para variáveis como posição de partículas, velocidades ou outras tantas que a Física utiliza, um mecanismo importante é a notação científica. Aspectos sobre como representar números dessa e de outras formas são apresentados na nossa sugestão de postagem:  

 

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