Sabendo mais sobre os logaritmos

Matemática

Os logaritmos são funções cujo resultado é a potência necessária para que a base assuma o valor do logaritmando. Por exemplo, se o logaritmando for “8” e a base “2”, o logaritmo irá retornar o número “3”:

log₂(8) = 3

Se você ficou em dúvida com esses termos, como logaritmo, logaritmando e base, você irá conhecer a seguir. Também serão vistas as propriedades dos logaritmos, pensando nas propriedades das potências, e as aplicações matemáticas dos logaritmos. Vamos saber mais?

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PARTES DE UM LOGARITMO

Um logaritmo é formado pela base b, que possui o mesmo nome em uma função potência, ou seja, o valor a ser elevado àquela potência para ser obtido dado valor; pelo logaritmando a, que seria um valor que, elevando a base a dada potência resultaria nele e o logaritmo é a função que nos fornece essa potência.

Para b^x = a, log_b (a) = x, por exemplo.

Para todas as bases, iremos representar o número como um índice subscrito, exceto quando essa base for dez. Nesse caso, vamos omitir esse número, sendo subentendido.

Vamos olhar o gráfico da função y = log (x) logo abaixo:

[Gráfico da função logaritmo. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]

Com ele, podemos observar os limites da função logaritmo:

- O logaritmando x sempre é maior do que zero, ou seja, o domínio da função é D = {x E IR | x > 0}

- O eixo y é uma assíntota vertical, ou seja, o gráfico nunca toca o eixo y, por mais que se aproxime dele.

- Podemos ter outras bases, mas o formato da curva é sempre o mesmo. Essa curva só inverte a concavidade se a base estiver entre zero e um.

Além disso, as bases sempre serão positivas (b > 0).

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Vamos pensar nas propriedades das potências e de logaritmos em conjunto, assim fica mais fácil de entendê-las.

1) O produto entre duas potências de mesma base é igual àquela mesma base com expoentes somados. Paralelo a isso, um logaritmando com expoente somado pode ser desdobrado em dois logaritmos.

 b^x • b^y = b^{x + y}

 log_b (b^{x + y}) = log_b (b^x) + log_b (b^y)

2) Potência aplicada em uma base que já é uma potência resulta em uma base e expoentes multiplicados. Pensando no logaritmo como uma potência, se o nosso logaritmando tiver expoente com potências que se multiplicam, uma delas pode ser transformada como coeficiente de nosso logaritmo.

 (b^x )^y = b^{x • y}

 log_b (b^{x • y}) = y log_b (b^x)

3) Se eu aplicar uma potência negativa, temos uma fração. Quando nosso logaritmando é uma fração, portanto, o logaritmo será negativo ou podemos adotar coeficiente menos um.

 b^-x = 1/b^x

 log_b (1/b^x) = - log_b (b^x)

4) Uma base qualquer elevada a zero é igual a um. Por causa dessa propriedade, quando nosso logaritmando for um, nosso logaritmo resulta em zero.

 b⁰ = 1

 log_b (1) = 0

APLICAÇÕES MATEMÁTICAS DOS LOGARITMOS

Na resolução de equações exponenciais ou outras expressões, é possível realizar simplificações usando logaritmos. Hoje é mais corriqueiro o uso de calculadoras em salas de aula, mas era comum existirem tabelas de valores dos logaritmos com base dez, para números pequenos e primos, como dois, três, cinco, por exemplo. Para outros valores, basta usar propriedades de logaritmos para simplificar.

Por exemplo, qual seria o valor de n nessa equação: 2 = 4^{(5n + 1)}?

2 = 4^{(5n + 1)}

log (2) = log (4^{(5n + 1)})

log (2) = (5n + 1) log (4)

log (2) = (5n + 1) log (2²)

log (2) = 2(5n + 1) log (2)

log (2) = 2(5n + 1) log (2)

2(5n + 1) = 1

5n + 1 = 1/2

5n = 1/2 – 1

n = (1/2 – 1)/5 = - 0,1

Outra aplicação matemática dos logaritmos está na transformação do gráfico de algumas funções de fenômenos da física em gráficos lineares, mudando os eixos para logarítmicos. Também se pode citar um clássico das notícias de terremotos: a escala Richter. Na sugestão de postagem logo abaixo, revimos algumas questões do ENEM 2019 e, dentro delas, avaliamos qual a classificação de um terremoto usando a função dessa escala.

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👉 E ainda mais para você: Veja algumas questões resolvidas do ENEM 2019 (de Matemática)

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