Relembrando algumas questões de Matemática do ENEM 2019

Matemática

Nesse ano, em função de toda a mudança de rotina em que estamos passando, muito se discutiu sobre o adiamento do ENEM e as diferentes condições de estudar. Como a internet seria necessária às aulas virtuais, muitas pessoas na TV ou mesmo em sites de variedades, comentaram que a falta de internet seria impedimento aos estudos. Na verdade, os impedimentos mais claros são outros, pois houve tempo em que não havia internet em todas as casas ou o acesso era algo impensável ao bom uso, e ainda assim era possível estudar.

Um estudante pode desenvolver seus estudos, desconsiderando o ensino regular (se as aulas da internet contam como sala de aula, precisam ser feitas), com livros didáticos e materiais de ensino médio. O grande impedimento disso é não ter o contato com professores e colegas, que podem proporcionar uma troca enriquecedora e tirarem dúvidas. Esse, sim, é o grande impedimento que a pandemia trouxe.

Espera-se que o adiamento possa beneficiar quem passou por dificuldades, e se você está estudando para a próxima prova, iremos apresentar algumas questões com resolução e gabarito da prova de Matemática do ENEM 2019. Considerou-se a prova cinza, ENEM regular.

 

[Atual logotipo do ENEM. Imagem: INEP]

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Questão 136

Enunciado

A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões.

O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é:

Opções

A:  1,1 • 10^-1

B:  1,1 • 10^-2

C:  1,1 • 10^-3

D:  1,1 • 10^-4

E:  1,1 • 10^-5

Resolução e gabarito

Ao pensar em notação científica, existem algumas regras especiais. Elas facilitam a escrita de números muito grandes ou muito pequenos. Dessas regras, é importante lembrar que a notação científica é um número de 1 a 9,9 multiplicado por uma potência de dez – todos os números na base decimal são isso, na verdade, mas aqui fica explícita essa ideia.

Uma regra prática é contar em qual dígito após a vírgula está o primeiro valor não nulo. Essa será a potência negativa de dez. Após esse dígito, colocamos a vírgula e vem os dígitos seguintes. Assim: 0,00011 mm = 1,1 • 10^-4 ou opção D, por termos o dígito “1” na quarta casa após a vírgula.

Questão 138

Enunciado

Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente.

O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área.

O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para π.

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:

Opções

A:  será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m²

B:  será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².

C:  será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².

D:  não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².

E:  não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².

Resolução e gabarito

O ENEM é uma prova que exige concentração e não permite perdas de tempo. Para isso, foram feitas duas simplificações, quanto ao valor de π e não contando as perdas do pavimento, maiores por ser um círculo. Desprezando essas duas coisas, a resposta será a diferença de áreas.

No círculo original, o diâmetro D é de 6 m, e o raio R é de 3 m, pois raio é a metade do diâmetro. O novo diâmetro D’ é de (6 + 8) = 14 m, ou seja, o raio R’ é de 7 m. Calculando a área inicial A e a área final A’, temos:

A = πR² = 3 • 3² = 3 • 9 = 27 m²

A’ = πR’² = 3 • 7² = 3 • 49 = 147 m²

A área a recobrir será (A’ – A), pois vamos manter o que já está pavimentado e só cobrir para o aumento de diâmetro.

A’ – A = 147 – 27 = 120 m².

O estoque do condomínio é de 100 m², ou seja, menor do que a demanda de 120 m². Logo, a resposta é a alternativa E.

Questão 145

Enunciado

O slogan “Se beber não dirija”, muito utilizado em campanhas publicitárias no Brasil, chama a atenção para o grave problema da ingestão de bebida alcoólica por motoristas e suas consequências para o trânsito. A gravidade desse problema pode ser percebida observando como o assunto é tratado pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 2013, a quantidade máxima de álcool permitida no sangue do condutor de um veículo, que já era pequena, foi reduzida, e o valor da multa para motoristas alcoolizados foi aumentado.

Em consequência dessas mudanças, observou-se queda no número de acidentes registrados em uma suposta rodovia nos anos que se seguiram às mudanças implantadas em 2013, conforme dados no quadro:

Ano	2013	2014	2015
Número de acidentes	1050	900	850

Suponha que a tendência de redução no número de acidentes nessa rodovia para os anos subsequentes seja igual à redução absoluta observada de 2014 para 2015. Com base na situação apresentada, o número de acidentes esperados nessa rodovia em 2018 foi de:

Opções

A:  150

B:  450

C:  550

D:  700

E:  800

Resolução e gabarito

Se a redução fosse um valor constante, quem lembrasse das formulações de progressões aritméticas poderia tentar usar isso, entretanto, no primeiro ano a queda foi de cento e cinquenta, e no segundo já foram cinquenta acidentes a menos.

Quando falamos em números absolutos, estamos estabelecendo valores fixos. De 2014 para 2015, a diferença de casos (ou redução absoluta) foi de:

900 – 850 = 50.

Se estivéssemos falando de números relativos, seria uma comparação entre um valor de referência (mais antigo) e o atual. Nesse caso:

Valor antigo: 900 ou 100 %

Valor novo: 850/900 = 94,44 % do antigo, ou (1 – 850/900) = 5,55 % de redução.

De 2015 a 2018, passaram-se três anos. Projetando a mesma redução absoluta com o passar dos anos:

Valor de 2015: 850.

Valor de 2018: 850 – 50 • (2018 – 2015) = 700

Assim, o gabarito é a letra D.

 Questão 146

Enunciado

Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1 % a.m. O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Para concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado. O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de:

Opções

A:  398,02

B:  400,00

C:  401,94

D:  404,00

E:  406,02

Resolução e gabarito

O valor original M é igual a duas parcelas de valor x’ e x’’ (sem juros), ou seja:

M = x’ + x’’.

A parcela p’, paga no primeiro mês, corresponde a um mês de juro composto. Sendo m = 1, temos:

p’ = x’ • (1 + 0,01)^m

p’ = x’ • (1,01)¹

p’ = 1,01x’

x’ = p’/1,01

x’ = 202,00/1,01 = 200

Em seguida, vamos calcular a parcela p’’, paga no segundo mês, que corresponde a dois meses de juro composto. Sendo m = 2, temos:

p’’ = x’’ • (1 + 0,01)^m

p’’ = x’’ • (1,01)²

p’’ = 1,0201x’’

x’’ = p’’/1,0201

x’’ = 204,02/1,0201= 200

Vamos calcular o montante inicial M:

M = x’ + x’’.

M = 200 + 200 = 400

Portanto, a resposta correta é de valor à vista de R$ 400,00 (quatrocentos reais), que corresponde à opção B.

Questão 150

Enunciado

Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (M_s) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo:

Descrição	Magnitude local (Ms) (μm ⋅ Hz)
Pequeno 0 ≤ Ms ≤ 3,9	Pequeno 0 ≤ Ms ≤ 3,9
Ligeiro 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9	Ligeiro 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9
Moderado 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9	Moderado 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9
Grande 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9	Grande 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9
Extremo Ms ≥ 10,0	Extremo Ms ≥ 10,0

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula M_s = 3,30 + log(A⋅f ), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (μm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2.000 μm e frequência de 0,2 Hz.

Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).

Utilize 0,3 como aproximação para log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como:

Opções

A:  Pequeno

B:  Ligeiro

C:  Moderado

D:  Grande

E:  Extremo

Resolução e gabarito

Logaritmo é a função que fornece qual o expoente que, após elevarmos determinada base, leva ao logaritmando. Sabendo as propriedades das potências, entendemos o que acontece com os logaritmos.

Existindo um produto entre potências de mesma base, somam-se os expoentes:

A^m + Aⁿ = A^{m + n}

Pensando nessa propriedade, quando temos o logaritmo do produto entre dois números, podemos desmembrá-lo em dois logaritmos de mesma base. Isso acontece porque os logaritmos nada mais são do que potências a descobrir, que se somaram quando ocorreu aquele produto.

log (A^{m + n}) = log A^m + log Aⁿ

Uma simplificação que existe na Matemática é que quando a base é dez, é omitida, como acontece na fórmula acima. Por isso é que é fornecido o valor de log 2 e não são dados mais detalhes. O conhecimento das propriedades de desmembramento dos logaritmos permite usar valores tabelados na base 10 e facilita os cálculos.

Sabendo disso, vamos calcular M_S:

M_S = 3,30 + log (A∙f)

M_S = 3,30 + log (2000 ∙ 0,2)

M_S = 3,30 + log (400)

M_S = 3,30 + log (4 ∙ 100)

M_S = 3,30 + log 4 + log 100

Como log 100 = 2, pois elevando dez ao quadrado que temos cem,

M_S = 3,30 + log 4 + 2

M_S = 5,30 + log 4

Vamos precisar de mais uma propriedade dos logaritmos. Quando temos um logaritmando que é uma potência, existe uma propriedade que indica valer a igualdade:

log (A^m) = m log A

Isso também deriva da propriedade das potências:

(A^m)ⁿ = A ^{m ∙ n}

Sabendo de mais essa propriedade, vamos desdobrar o que temos:

M_S = 5,30 + log 4

M_S = 5,30 + log 2²

M_S = 5,30 + 2 log 2

M_S = 5,30 + 2 ∙ 0,3

M_S = 5,30 + 0,6

M_S = 5,90

Avaliando as faixas de valores, trata-se de uma situação limite da magnitude local moderada. Com isso, a resposta correta é C.

Questão 154

Enunciado

O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é:

Opções

A:  99

B:  51

C:  50

D:  6

E:  1

Resolução e gabarito

Cada evento isolado possui probabilidade de 1/2 de acontecer (a placa ser vista) e 1/2 de não ocorrer (placa nem ser notada). Como os eventos são independentes (um não altera a probabilidade de outro ocorrer), a probabilidade de eventos consecutivos será o produto entre a probabilidade de todos os eventos isolados. Vamos considerar a probabilidade de uma placa não ser percebida.

Com n placas, a probabilidade de essas n placas não serem vistas é de:

(1/2)ⁿ = 1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 ∙ ∙∙∙ 1/2

Queremos que a probabilidade de todas as placas não serem vistas seja inferior a 1 %, ou 1/100. Para isso, precisamos que (1/2)ⁿ seja menor do que 1/100. 1ⁿ é igual a 1. Assim, estamos comparando:

1/(2ⁿ) < 1/100

Essa é uma comparação entre duas frações. Nessas comparações, de mesmo numerador, a menor fração será aquela de maior denominador. Isso significa que se 2ⁿ for maior do que 100, temos o número de placas necessário. Isso pode ser obtido por tentativa e erro, ou por logaritmos aplicados em ambos os membros. Considerando a igualdade:

2ⁿ = 100

log 2ⁿ = log 100

n log 2 = 2

Lembrando o que apareceu na questão 150,

n log 2 = 2

0,3n = 2

n = 2/0,3

n = 6,67

Ou seja, se 2^6,67 = 100, precisamos que 2ⁿ seja maior do que 100, e n é um número inteiro. Assim, precisaríamos de sete placas. Já temos uma, então serão necessárias mais seis placas, com a resposta correta na letra D.

Caso não soubéssemos o logaritmo, sem a questão anterior da prova, poderíamos pensar na tentativa e erro, pois é um valor baixo:

2³ = 8

2⁴ = 16

2^{5 =} 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

Com n = 7, tivemos 2ⁿ > 100, ou 1/(2ⁿ) < 1/100. Da mesma forma, chegaríamos à resposta desejada.

Questão 157

Enunciado

O Sistema Métrico Decimal é o mais utilizado atualmente para medir comprimentos e distâncias.

Em algumas atividades, porém, é possível observar a utilização de diferentes unidades de medida.

Um exemplo disso pode ser observado no quadro:

Unidade	Equivalência
Polegada [“]	2,54 cm
Jarda [yd]	3’
Jarda [yd]	0,9144 m

Assim, um pé (1’), em polegada, equivale a:

Opções

A:  0,1200

B:  0,3048

C:  1,0800

D:  12,0000

E:  36,0000

Resolução e gabarito

É preciso fazer todas as conversões de unidades para resolver. Como temos dois valores para jardas, vale afirmar:

3’ = 0,9144 m

1’ = 0,9144m/3 = 0,3048 m

Passando para centímetros, temos que um pé:

1’ = 30,48 cm

Como uma polegada vale:

1” = 2,54 cm

Vamos dividir o valor de um pé pelo valor de uma polegada em centímetros:

1’ = 30,48 cm/2,54 cm= 12”

Chegamos à equivalência de doze polegadas, ou seja, letra D.

.

Questão 158

Enunciado

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo X^1/2 , o terceiro X^1/3, o quarto X² e o último X³ . Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

Opções

A:  o primeiro

B:  o segundo

C:  o terceiro

D:  o quarto

E:  o quinto

Resolução e gabarito

Uma propriedade interessante dos números entre zero e um é que eles não aumentam quando elevados a potências acima de um. Podemos pensar em vários exemplos:

0,11 ∙ 0,11 = 0,0121

⁞

0,99 ∙ 0,99 = 0,9801

Não é boa ideia tentar testar valores, mas é importante entender como funcionam as funções nesse domínio de zero a um. As potências positivas 2 e 3 diminuem os valores, e as potências fracionárias (ou raízes quadrada e cúbica) levam a um valor maior do que o original.

Sabendo o intervalo de valores de X, e que nenhum zerou ou atingiu o máximo (o que complicaria a nossa análise), podemos ver que:

x^1/3  > x^1/2 > x > x² > x³

O que nos leva ao terceiro país como sendo o de maior IDH, resposta C.

Questão 161

Enunciado

Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura:

[Imagem: enem2019/Reprodução]

Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é

Opções

A:  2(22)^1/2 cm

B:  6(3)^1/2 cm

C:  12 cm

D:  6(5)^1/2 cm

E:  12(2)^1/2 cm

Resolução e gabarito

Para resolver essa questão, temos de imaginar o papel aberto para encontrarmos o que precisamos. Originalmente, tínhamos um retângulo ABCD, com lados AB = CD = 18 cm e BC = DA = 12 cm.

O segredo para encontrarmos o segmento AE é usamos o Teorema de Pitágoras, que é uma relação entre triângulos onde o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (lados que formam o ângulo reto). Dessa forma:

AE² = DA² + DE²

AE = (DA² + DE²)^1/2

AE = [12² + (18 - 12)²]^1/2

AE = [12² + 6²]^1/2

AE = [12² + 6²]^1/2

AE = [144 + 36]^1/2

AE = [180]^1/2

AE = [2²•5•3²]^1/2

AE = 6(5)^1/2

Feitos os cálculos, chegamos como resposta à letra D.

Questão 162

Enunciado

Os alunos de uma turma escolar foram divididos em dois grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro jogaria futebol. Sabe-se que o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol. A tabela seguinte apresenta informações sobre as alturas dos alunos da turma.

Média	Mediana	Moda
1,65	1,67	1,70

Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 m e 1,68 m, e as suas alturas não são iguais a de nenhum outro colega da sala. Segundo essas informações, argumenta-se que os alunos P, J, F e M jogaram, respectivamente,

Opções

A:  basquete, basquete, basquete, basquete.

B:  futebol, basquete, basquete, basquete.

C:  futebol, futebol, basquete, basquete.

D:  futebol, futebol, futebol, basquete.

E:  futebol, futebol, futebol, futebol.

Resolução e gabarito

Nessa questão, vamos reconstruir o conjunto a partir das medidas de tendência central como a média e a mediana. Temos quatro elementos únicos e uma moda. O valor da moda deve ser o que mais vai aparecer, então deve haver, no mínimo, dois indivíduos com essa altura. Até então, nosso grupo é de seis indivíduos:

1,65 m, 1,66 m, 1,67 m, 1,68 m, 1,70 m, 1,70 m

A mediana é de 1,67 m. Isso só irá acontecer se o elemento central do conjunto for ele pois, no grupo que temos agora, a mediana é de:

Mediana: (1,67 + 1,68)/2 = 1,675.

Isso significa que teremos de acrescer mais um elemento ao conjunto. Isso faz sentido, pois temos uma equipe com n integrantes e outra com (n + 1) integrantes – o que leva a um número ímpar de estudantes. O integrante de altura k compõe a equipe:

k, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 m, 1,68 m, 1,70 m, 1,70 m

Temos a média v de todas as alturas. A partir dela, vamos obter o valor de k:

v = (k + 1,65 m + 1,66 m + 1,67 m + 1,68 m + 1,70 m + 1,70 m)/7

7v = k + 1,65 m + 1,66 m + 1,67 m + 1,68 m + 1,70 m + 1,70 m

k = 7v - 1,65 m - 1,66 m - 1,67 m - 1,68 m - 1,70 m - 1,70 m

k = 7(1,65 m) - 1,65 m - 1,66 m - 1,67 m - 1,68 m - 1,70 m - 1,70 m

k = 1,49 m

Temos um estudante com 1,49 m, menor do que os demais. Os três menores jogam futebol e os quatro maiores jogam basquete (um jogador a mais). P, J, F e M são o segundo, terceiro, quarto e quinto elementos do conjunto. Do primeiro ao terceiro menores, temos jogadores de futebol, do quarto ao sétimo, jogadores de basquete. Com isso:

P = futebol

J = futebol

F = basquete

M = basquete

Com isso, chegamos à resposta C como correta.

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