Matemática
Nesse ano, em função de
toda a mudança de rotina em que estamos passando, muito se discutiu sobre o
adiamento do ENEM e as diferentes condições de estudar. Como a internet seria necessária
às aulas virtuais, muitas pessoas na TV ou mesmo em sites de variedades,
comentaram que a falta de internet seria impedimento aos estudos. Na verdade,
os impedimentos mais claros são outros, pois houve tempo em que não havia
internet em todas as casas ou o acesso era algo impensável ao bom uso, e ainda
assim era possível estudar.
Um estudante pode
desenvolver seus estudos, desconsiderando o ensino regular (se as aulas da
internet contam como sala de aula, precisam ser feitas), com livros didáticos e
materiais de ensino médio. O grande impedimento disso é não ter o contato com
professores e colegas, que podem proporcionar uma troca enriquecedora e tirarem
dúvidas. Esse, sim, é o grande impedimento que a pandemia trouxe.
Espera-se que o adiamento possa
beneficiar quem passou por dificuldades, e se você está estudando para a
próxima prova, iremos apresentar algumas questões com resolução e gabarito da
prova de Matemática do ENEM 2019. Considerou-se a prova cinza, ENEM regular.
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[Atual logotipo do ENEM. Imagem: INEP] |
Questão 136
Enunciado
A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta
duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz,
esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das
vias respiratórias, incluindo os pulmões.
O vírus influenza é uma partícula esférica que tem
um diâmetro interno de 0,00011 mm.
Disponível em:
www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza,
em mm, é:
Opções
A: 1,1 • 10-1
B: 1,1 • 10-2
C: 1,1 • 10-3
D: 1,1 • 10-4
E: 1,1 • 10-5
Resolução e gabarito
Ao pensar em notação
científica, existem algumas regras especiais. Elas facilitam a escrita de
números muito grandes ou muito pequenos.
Dessas regras, é importante lembrar que a notação científica é um número de 1 a
9,9 multiplicado por uma potência de dez – todos os números na base decimal são
isso, na verdade, mas aqui fica explícita essa ideia.
Uma regra prática é contar
em qual dígito após a vírgula está o primeiro valor não nulo. Essa será a
potência negativa de dez. Após esse dígito, colocamos a vírgula e vem os
dígitos seguintes. Assim: 0,00011 mm = 1,1 • 10-4 ou opção D, por
termos o dígito “1” na quarta casa após a vírgula.
Questão 138
Enunciado
Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a
forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração
do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e
aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte
já existente.
O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente
para pavimentar mais 100 m² de área.
O síndico do condomínio irá avaliar se esse
material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando
a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:
Opções
A: será suficiente, pois a área da nova região a
ser pavimentada mede 21 m²
B: será suficiente, pois a área da nova região a
ser pavimentada mede 24 m².
C: será suficiente, pois a
área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².
D: não será suficiente, pois a
área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².
E: não será suficiente, pois a
área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².
Resolução e gabarito
O ENEM é uma prova que
exige concentração e não permite perdas de tempo. Para isso, foram feitas duas
simplificações, quanto ao valor de π e não contando as perdas do pavimento,
maiores por ser um círculo. Desprezando essas duas coisas, a resposta será a
diferença de áreas.
No círculo original, o
diâmetro D é de 6 m, e o raio R é de 3 m, pois raio é a metade do diâmetro. O
novo diâmetro D’ é de (6 + 8) = 14 m, ou seja, o raio R’ é de 7 m. Calculando a
área inicial A e a área final A’, temos:
A = πR² = 3 • 3² = 3 • 9 =
27 m²
A’ = πR’² = 3 • 7² = 3 • 49
= 147 m²
A área a recobrir será (A’
– A), pois vamos manter o que já está pavimentado e só cobrir para o aumento de
diâmetro.
A’ – A = 147 – 27 = 120 m².
O estoque do condomínio é
de 100 m², ou seja, menor do que a demanda de 120 m². Logo, a resposta é a
alternativa E.
Questão 145
Enunciado
O slogan “Se beber não dirija”, muito utilizado em campanhas
publicitárias no Brasil, chama a atenção para o grave problema da ingestão de
bebida alcoólica por motoristas e suas consequências para o trânsito. A
gravidade desse problema pode ser percebida observando como o assunto é tratado
pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 2013, a quantidade máxima de álcool
permitida no sangue do condutor de um veículo, que já era pequena, foi
reduzida, e o valor da multa para motoristas alcoolizados foi aumentado.
Em consequência dessas mudanças, observou-se queda
no número de acidentes registrados em uma suposta rodovia nos anos que se
seguiram às mudanças implantadas em 2013, conforme dados no quadro:
Ano
|
2013
|
2014
|
2015
|
Número de acidentes
|
1050
|
900
|
850
|
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes
nessa rodovia para os anos subsequentes seja igual à redução absoluta observada
de 2014 para 2015. Com base na situação apresentada, o número de acidentes
esperados nessa rodovia em 2018 foi de:
Opções
A: 150
B: 450
C: 550
D: 700
E: 800
Resolução e gabarito
Se a redução fosse um valor
constante, quem lembrasse das formulações de progressões aritméticas poderia
tentar usar isso, entretanto, no primeiro ano a queda foi de cento e cinquenta,
e no segundo já foram cinquenta acidentes a menos.
Quando falamos em números
absolutos, estamos estabelecendo valores fixos. De 2014 para 2015, a diferença
de casos (ou redução absoluta) foi de:
900 – 850 = 50.
Se estivéssemos falando de
números relativos, seria uma comparação entre um valor de referência (mais
antigo) e o atual. Nesse caso:
Valor antigo: 900 ou 100 %
Valor novo: 850/900 = 94,44
% do antigo, ou (1 – 850/900) = 5,55 % de redução.
De 2015 a 2018, passaram-se
três anos. Projetando a mesma redução absoluta com o passar dos anos:
Valor de 2015: 850.
Valor de 2018: 850 – 50 •
(2018 – 2015) = 700
Assim, o gabarito é a letra
D.
Questão 146
Enunciado
Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado
em uma loja. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros
compostos de 1 % a.m. O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do
produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês após
o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Para concretizar a compra, o gerente
emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado com o cliente,
correspondendo ao financiamento aprovado. O valor à vista, em real, que deverá
constar na nota fiscal é de:
Opções
A: 398,02
B: 400,00
C: 401,94
D: 404,00
E: 406,02
Resolução e gabarito
O valor original M é igual
a duas parcelas de valor x’ e x’’ (sem juros), ou seja:
M = x’ + x’’.
A parcela p’, paga no
primeiro mês, corresponde a um mês de juro composto. Sendo m = 1, temos:
p’ = x’ • (1 + 0,01)m
p’ = x’ • (1,01)1
p’ = 1,01x’
x’ = p’/1,01
x’ = 202,00/1,01 = 200
Em seguida, vamos calcular
a parcela p’’, paga no segundo mês, que corresponde a dois meses de juro
composto. Sendo m = 2, temos:
p’’ = x’’ • (1 + 0,01)m
p’’ = x’’ • (1,01)2
p’’ = 1,0201x’’
x’’ = p’’/1,0201
x’’ = 204,02/1,0201= 200
Vamos calcular o montante
inicial M:
M = x’ + x’’.
M = 200 + 200 = 400
Portanto, a resposta
correta é de valor à vista de R$ 400,00 (quatrocentos reais), que corresponde à
opção B.
Questão 150
Enunciado
Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala
Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a
10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude
local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo:
Descrição
|
Magnitude local (Ms)
(μm ⋅ Hz)
|
Pequeno 0 ≤ Ms ≤ 3,9
|
Pequeno 0 ≤ Ms ≤ 3,9
|
Ligeiro 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9
|
Ligeiro 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9
|
Moderado 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9
|
Moderado 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9
|
Grande 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9
|
Grande 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9
|
Extremo Ms ≥ 10,0
|
Extremo Ms ≥ 10,0
|
Para se calcular a magnitude local, usa-se a
fórmula Ms = 3,30 + log(A⋅f ), em que A representa a amplitude máxima da onda
registrada por um sismógrafo em micrômetro (μm) e f representa a frequência da
onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2.000 μm e frequência
de 0,2 Hz.
Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso
em: 1 fev. 2015 (adaptado).
Utilize 0,3 como aproximação para log 2.
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido
pode ser descrito como:
Opções
A: Pequeno
B: Ligeiro
C: Moderado
D: Grande
E: Extremo
Resolução e gabarito
Logaritmo é a função que
fornece qual o expoente que, após elevarmos determinada base, leva ao logaritmando.
Sabendo as propriedades das potências, entendemos o que acontece com os
logaritmos.
Existindo um produto entre
potências de mesma base, somam-se os expoentes:
Am + An
= Am + n
Pensando nessa propriedade,
quando temos o logaritmo do produto entre dois números, podemos desmembrá-lo em
dois logaritmos de mesma base. Isso acontece porque os logaritmos nada mais são
do que potências a descobrir, que se somaram quando ocorreu aquele produto.
log (Am + n) = log Am + log An
Uma simplificação que
existe na Matemática é que quando a base é dez, é omitida, como acontece na
fórmula acima. Por isso é que é fornecido o valor de log 2 e não são dados mais
detalhes. O conhecimento das propriedades de desmembramento dos logaritmos
permite usar valores tabelados na base 10 e facilita os cálculos.
Sabendo disso, vamos
calcular MS:
MS = 3,30 + log (A∙f)
MS = 3,30 + log (2000 ∙ 0,2)
MS = 3,30 + log
(400)
MS = 3,30 + log
(4 ∙ 100)
MS = 3,30 + log
4 + log 100
Como log 100 = 2, pois
elevando dez ao quadrado que temos cem,
MS = 3,30 + log
4 + 2
MS = 5,30 + log
4
Vamos precisar de mais uma
propriedade dos logaritmos. Quando temos um logaritmando que é uma potência,
existe uma propriedade que indica valer a igualdade:
log (Am) = m log
A
Isso também deriva da
propriedade das potências:
(Am)n
= A m ∙ n
Sabendo de mais essa
propriedade, vamos desdobrar o que temos:
MS = 5,30 + log 4
MS = 5,30 + log 2²
MS = 5,30 + 2 log 2
MS = 5,30 + 2 ∙ 0,3
MS = 5,30 + 0,6
MS = 5,90
Avaliando as faixas de
valores, trata-se de uma situação limite da magnitude local moderada. Com isso,
a resposta correta é C.
Questão 154
Enunciado
O dono de um restaurante situado às margens de uma
rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao
longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e
concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas
com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a
probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas
fosse superior a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a
serem instaladas é:
Opções
A: 99
B: 51
C: 50
D: 6
E: 1
Resolução e gabarito
Cada evento isolado possui
probabilidade de 1/2 de acontecer (a placa ser vista) e 1/2 de não ocorrer
(placa nem ser notada). Como os eventos são independentes (um não altera a
probabilidade de outro ocorrer), a probabilidade de eventos consecutivos será o
produto entre a probabilidade de todos os eventos isolados. Vamos considerar a
probabilidade de uma placa não ser percebida.
Com n placas, a
probabilidade de essas n placas não serem vistas é de:
(1/2)n = 1/2 ∙
1/2 ∙ 1/2 ∙ ∙∙∙ 1/2
Queremos que a
probabilidade de todas as placas não serem vistas seja inferior a 1 %, ou
1/100. Para isso, precisamos que (1/2)n seja menor do que 1/100. 1n
é igual a 1. Assim, estamos comparando:
1/(2n) <
1/100
Essa é uma comparação entre
duas frações. Nessas comparações, de mesmo numerador, a menor fração será
aquela de maior denominador. Isso significa que se 2n for maior do
que 100, temos o número de placas necessário. Isso pode ser obtido por
tentativa e erro, ou por logaritmos aplicados em ambos os membros. Considerando
a igualdade:
2n = 100
log 2n = log 100
n log 2 = 2
Lembrando o que apareceu na
questão 150,
n log 2 = 2
0,3n = 2
n = 2/0,3
n = 6,67
Ou seja, se 26,67
= 100, precisamos que 2n seja maior do que 100, e n é um número
inteiro. Assim, precisaríamos de sete placas. Já temos uma, então serão
necessárias mais seis placas, com a resposta correta na letra D.
Caso não soubéssemos o
logaritmo, sem a questão anterior da prova, poderíamos pensar na tentativa e
erro, pois é um valor baixo:
2³ = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
Com n = 7, tivemos 2n
> 100, ou 1/(2n) < 1/100. Da mesma forma, chegaríamos à
resposta desejada.
Questão 157
Enunciado
O Sistema Métrico Decimal é o mais utilizado atualmente
para medir comprimentos e distâncias.
Em algumas atividades, porém, é possível observar a
utilização de diferentes unidades de medida.
Um exemplo disso pode ser observado no quadro:
Unidade
|
Equivalência
|
Polegada [“]
|
2,54 cm
|
Jarda [yd]
|
3’
|
Jarda [yd]
|
Assim, um pé (1’), em polegada, equivale a:
Opções
A: 0,1200
B: 0,3048
C: 1,0800
D: 12,0000
E: 36,0000
Resolução e gabarito
É preciso fazer todas as
conversões de unidades para resolver. Como temos dois valores para jardas, vale
afirmar:
3’ = 0,9144 m
1’ = 0,9144m/3 = 0,3048 m
Passando para centímetros,
temos que um pé:
1’ = 30,48 cm
Como uma polegada vale:
1” = 2,54 cm
Vamos dividir o valor de um
pé pelo valor de uma polegada em centímetros:
1’ = 30,48 cm/2,54 cm= 12”
Chegamos à equivalência de
doze polegadas, ou seja, letra D.
.
Questão 158
Enunciado
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida
usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu
cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade
e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é
um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento
humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo X1/2 , o
terceiro X1/3, o quarto X² e o último X³ . Nenhum desses países
zerou ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH?
Opções
A: o primeiro
B: o segundo
C: o terceiro
D: o quarto
E: o quinto
Resolução e gabarito
Uma propriedade
interessante dos números entre zero e um é que eles não aumentam quando
elevados a potências acima de um. Podemos pensar em vários exemplos:
0,11 ∙ 0,11 = 0,0121
⁞
0,99 ∙ 0,99 = 0,9801
Não é boa ideia tentar
testar valores, mas é importante entender como funcionam as funções nesse
domínio de zero a um. As potências positivas 2 e 3 diminuem os valores, e as
potências fracionárias (ou raízes quadrada e cúbica) levam a um valor maior do
que o original.
Sabendo o intervalo de
valores de X, e que nenhum zerou ou atingiu o máximo (o que complicaria a nossa
análise), podemos ver que:
x1/3 > x1/2 > x > x² > x³
O que nos leva ao terceiro
país como sendo o de maior IDH, resposta C.
Questão 161
Enunciado
Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando
e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um
significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do
mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica
do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou
por dobrar a folha conforme a figura:
![]() |
[Imagem: enem2019/Reprodução] |
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE
é
Opções
A: 2(22)1/2 cm
B: 6(3)1/2 cm
C: 12 cm
D: 6(5)1/2 cm
E: 12(2)1/2 cm
Resolução e gabarito
Para resolver essa questão,
temos de imaginar o papel aberto para encontrarmos o que precisamos. Originalmente,
tínhamos um retângulo ABCD, com lados AB = CD = 18 cm e BC = DA = 12 cm.
O segredo para encontrarmos
o segmento AE é usamos o Teorema de Pitágoras, que é uma relação entre triângulos
onde o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos
(lados que formam o ângulo reto). Dessa forma:
AE² = DA² + DE²
AE = (DA² + DE²)1/2
AE = [12² + (18 - 12)²]1/2
AE = [12² + 6²]1/2
AE = [12² + 6²]1/2
AE = [144 + 36]1/2
AE = [180]1/2
AE = [2²•5•3²]1/2
AE = 6(5)1/2
Feitos os cálculos, chegamos
como resposta à letra D.
Questão 162
Enunciado
Os alunos de uma turma escolar foram divididos em dois
grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro jogaria futebol. Sabe-se
que o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma
pessoa a mais do que o grupo de futebol. A tabela seguinte apresenta
informações sobre as alturas dos alunos da turma.
Média
|
Mediana
|
Moda
|
1,65
|
1,67
|
1,70
|
Os alunos P, J, F e M medem,
respectivamente, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 m e 1,68 m, e
as suas alturas não são iguais a de nenhum outro colega da sala. Segundo essas
informações, argumenta-se que os alunos P, J, F e M jogaram, respectivamente,
Opções
A: basquete, basquete, basquete, basquete.
B: futebol, basquete, basquete, basquete.
C: futebol, futebol, basquete,
basquete.
D: futebol, futebol, futebol,
basquete.
E: futebol, futebol, futebol,
futebol.
Resolução e gabarito
Nessa questão, vamos
reconstruir o conjunto a partir das medidas de tendência central como a média e a mediana.
Temos quatro elementos únicos e uma moda. O valor da moda deve ser o que mais
vai aparecer, então deve haver, no mínimo, dois indivíduos com essa altura. Até
então, nosso grupo é de seis indivíduos:
1,65 m, 1,66 m, 1,67 m,
1,68 m, 1,70 m, 1,70 m
A mediana é de 1,67 m. Isso
só irá acontecer se o elemento central do conjunto for ele pois, no grupo que
temos agora, a mediana é de:
Mediana: (1,67 + 1,68)/2 =
1,675.
Isso significa que teremos
de acrescer mais um elemento ao conjunto. Isso faz sentido, pois temos uma
equipe com n integrantes e outra com (n + 1) integrantes – o que leva a um
número ímpar de estudantes. O integrante de altura k compõe a equipe:
k, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 m,
1,68 m, 1,70 m, 1,70 m
Temos a média v de todas as
alturas. A partir dela, vamos obter o valor de k:
v = (k + 1,65 m + 1,66 m + 1,67 m + 1,68 m + 1,70 m + 1,70 m)/7
7v = k + 1,65 m + 1,66 m + 1,67 m + 1,68 m + 1,70 m + 1,70 m
k = 7v - 1,65 m - 1,66 m - 1,67 m - 1,68 m - 1,70 m - 1,70 m
k = 7(1,65 m) - 1,65 m - 1,66 m - 1,67 m - 1,68 m - 1,70 m - 1,70 m
k = 1,49 m
Temos um estudante com 1,49
m, menor do que os demais. Os três menores jogam futebol e os quatro maiores
jogam basquete (um jogador a mais). P, J, F e M são o segundo, terceiro, quarto
e quinto elementos do conjunto. Do primeiro ao terceiro menores, temos
jogadores de futebol, do quarto ao sétimo, jogadores de basquete. Com isso:
P = futebol
J = futebol
F = basquete
M = basquete
Com isso, chegamos à
resposta C como correta.
□
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