As relações trigonométricas

Matemática

Quando se fala em trigonometria, estamos tratando de relações envolvendo dimensões e ângulos de triângulos, que são figuras geométricas planas com três arestas lineares. Existem algumas relações matemáticas interessantes que exploram essa simpática figura, que você vê logo a seguir (nos itens “a soma dos lados” / “Teorema de Pitágoras” / “Senos e outras funções” / “Lei dos Senos” / “Lei dos Cossenos” / “Relação fundamental da Trigonometria” e relações dela advindas).

[Para acompanhar o post, consulte essa figura sempre que precisar. Imagem: O Blog do Mestre]

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A SOMA DOS LADOS

É regra básica da trigonometria que o maior lado, ou a maior aresta do triângulo é menor do que a soma dos comprimentos das outras duas. Se você construir um triângulo com régua e compasso, deverá ver isso.

A começar, faça uma linha com o comprimento do maior lado. Depois, com o centro do compasso em uma das extremidades dessa linha, faça um semicírculo com raio igual a um dos lados. Faça o mesmo no lado oposto. Se a soma dos dois lados menores fosse igual ao lado maior, teríamos um ponto sobre um segmento de reta, dividindo-o em dois, e não um triângulo.

Visualizamos isso de outra forma quando pensamos partindo da reta. Se temos três pontos e um deles não estiver contido na reta, temos um triângulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Essa relação matemática é válida para triângulos-retângulos. Neles, dois lados formam um ângulo de 90 ° e os demais são diversos. Esses lados perpendiculares são chamados de catetos (b e c) e a hipotenusa (a) o lado maior e restante.

Eles sempre irão seguir a seguinte expressão:

a² = b² + c²

SENOS, COSSENOS, TANGENTES, SECANTES, COSSECANTES, COTANGENTES...

Pegando aquele mesmo triângulo-retângulo, pode-se definir os seguintes valores para um dado ângulo:

Seno: cateto oposto / hipotenusa

Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa

Secante: 1 / cosseno = hipotenusa / cateto adjacente

Cossecante: 1 / seno = hipotenusa / cateto oposto

Tangente: seno / cosseno = cateto oposto / cateto adjacente

Cotangente: 1 / tangente = cosseno / seno = cateto adjacente / cateto oposto

LEI DOS SENOS

Consiste em uma relação entre senos dos ângulos internos de um triângulo qualquer (não precisa ser só o retângulo) e os comprimentos das arestas desse mesmo triângulo. Tendo um triângulo com arestas de comprimentos a, b e c e ângulos internos A (entre b e c), B (entre a e c), C (entre a e b), eles obedecem as seguintes relações:

[sen (A) / a] = [sen (B) / b] = [sen (C) / c]

LEI DOS COSSENOS

Envolve também os ângulos internos de um triângulo qualquer e os comprimentos das arestas desse mesmo triângulo. Tendo um triângulo com arestas de comprimentos a, b e c e ângulos internos A (entre b e c), B (entre a e c), C (entre a e b), eles obedecem as seguintes relações:

a² = b² + c² - 2bc • cos (A)

b² = a² + c² - 2ac • cos (B)

c² = a² + b² - 2ab • cos (C)

Note que a regra se forma assim: o quadrado do comprimento de uma aresta é igual à soma dos quadrados das outras menos duas vezes o produto do comprimento das demais arestas pelo seno do ângulo oposto àquela aresta. Quando temos o triângulo retângulo, acontece um caso particular e se anula essa última parcela que envolve o cosseno do ângulo. Sendo “a” a hipotenusa, o ângulo oposto é de 90º, cujo cosseno é igual a zero.

A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA E SUAS DERIVAÇÕES

Uma forma gráfica de apresentação de seno e cosseno consiste na circunferência trigonométrica, onde se apresenta os valores da função cosseno no eixo das abscissas e os valores da função seno no eixo das ordenadas. Senos e cossenos correspondem ao ângulo X entre o eixo das abscissas e um vetor raio R da circunferência trigonométrica.

Esse raio é igual à unidade, pois seno e cosseno só variam de – 1 a +1. Tendo um triângulo retângulo, é aplicável o teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

(1)² = (sen (X))² + (cos(X))²

sen²(X) + cos²(X) = 1

Com algumas manipulações algébricas, outras relações trigonométricas podem ser conseguidas:

i) dividindo todos os membros por sen² (X):

sen²(X)/sen²(X) + cos²(X)/sen²(X) = 1/sen²(X)

1 + cotan²(X) = cossec²(X)

cossec²(X) – cotan²(X) = 1

ii) dividindo todos os membros por cos² (X):

sen²(X)/cos²(X) + cos²(X)/cos²(X) = 1/cos²(X)

tan²(X) + 1 = sec²(X)

sec²(X) – tan²(X) = 1

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👉 E ainda mais para você: Integrais de funções trigonométricas

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