Matemática
Quando se fala em trigonometria, estamos
tratando de relações envolvendo dimensões e ângulos de triângulos, que são
figuras geométricas planas com três arestas lineares. Existem algumas relações
matemáticas interessantes que exploram essa simpática figura, que você vê logo
a seguir (nos itens “a soma dos lados” / “Teorema de Pitágoras” / “Senos e
outras funções” / “Lei dos Senos” / “Lei dos Cossenos” / “Relação fundamental
da Trigonometria” e relações dela advindas).
[Para acompanhar o post, consulte essa figura sempre que
precisar. Imagem: O Blog do Mestre]
A SOMA DOS LADOS
É regra básica da trigonometria que o maior
lado, ou a maior aresta do triângulo é menor do que a soma dos comprimentos das
outras duas. Se você construir um triângulo com régua e compasso, deverá ver
isso.
A começar, faça uma linha com o comprimento
do maior lado. Depois, com o centro do compasso em uma das extremidades dessa
linha, faça um semicírculo com raio igual a um dos lados. Faça o mesmo no lado
oposto. Se a soma dos dois lados menores fosse igual ao lado maior, teríamos um
ponto sobre um segmento de reta, dividindo-o em dois, e não um triângulo.
Visualizamos isso de outra forma quando
pensamos partindo da reta. Se temos três pontos e um deles não estiver contido
na reta, temos um triângulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Essa relação matemática é válida para triângulos-retângulos.
Neles, dois lados formam um ângulo de 90 ° e os demais são diversos. Esses
lados perpendiculares são chamados de catetos (b e c) e a hipotenusa (a) o lado
maior e restante.
Eles sempre irão seguir a seguinte
expressão:
a²
= b² + c²
SENOS, COSSENOS, TANGENTES, SECANTES, COSSECANTES, COTANGENTES...
Pegando aquele mesmo triângulo-retângulo,
pode-se definir os seguintes valores para um dado ângulo:
Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Secante: 1 / cosseno = hipotenusa / cateto
adjacente
Cossecante: 1 / seno = hipotenusa / cateto
oposto
Tangente: seno / cosseno = cateto oposto /
cateto adjacente
Cotangente: 1 / tangente = cosseno / seno =
cateto adjacente / cateto oposto
LEI DOS SENOS
Consiste em uma relação entre senos dos
ângulos internos de um triângulo qualquer (não precisa ser só o retângulo) e os
comprimentos das arestas desse mesmo triângulo. Tendo um triângulo com arestas
de comprimentos a, b e c e ângulos internos A (entre b e c), B (entre a e c), C (entre a e b), eles obedecem as seguintes relações:
[sen (A) / a] = [sen (B) / b] = [sen (C) / c]
LEI DOS COSSENOS
Envolve também os ângulos internos de um
triângulo qualquer e os comprimentos das arestas desse mesmo triângulo. Tendo
um triângulo com arestas de comprimentos a,
b e c e ângulos internos A (entre b e c), B (entre a e c), C (entre a e b), eles obedecem as seguintes relações:
a²
= b² + c² - 2bc • cos (A)
b²
= a² + c² - 2ac • cos (B)
c²
= a² + b² - 2ab • cos (C)
Note que a regra se forma assim: o quadrado
do comprimento de uma aresta é igual à soma dos quadrados das outras menos duas
vezes o produto do comprimento das demais arestas pelo seno do ângulo oposto
àquela aresta. Quando temos o triângulo retângulo, acontece um caso particular
e se anula essa última parcela que envolve o cosseno do ângulo. Sendo “a” a
hipotenusa, o ângulo oposto é de 90º, cujo cosseno é igual a zero.
A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA E SUAS DERIVAÇÕES
Uma forma gráfica de apresentação de seno e
cosseno consiste na circunferência trigonométrica, onde se apresenta os valores
da função cosseno no eixo das abscissas e os valores da função seno no eixo das
ordenadas. Senos e cossenos correspondem ao ângulo X entre o eixo das abscissas e um vetor raio R da circunferência
trigonométrica.
Esse raio é igual à unidade, pois seno e
cosseno só variam de – 1 a +1. Tendo um triângulo retângulo, é aplicável o
teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
(1)² = (sen (X))² + (cos(X))²
sen²(X) + cos²(X) = 1
Com algumas manipulações algébricas, outras
relações trigonométricas podem ser conseguidas:
i) dividindo todos os membros por sen² (X):
sen²(X)/sen²(X) + cos²(X)/sen²(X) = 1/sen²(X)
1 + cotan²(X) = cossec²(X)
cossec²(X) – cotan²(X) = 1
ii) dividindo todos os membros por cos² (X):
sen²(X)/cos²(X)
+ cos²(X)/cos²(X) = 1/cos²(X)
tan²(X)
+ 1 = sec²(X)
sec²(X)
– tan²(X) = 1
□
👉 E ainda mais
para você: Integrais
de funções trigonométricas
GOSTOU DESTA POSTAGEM ☺? USANDO A BARRA DE BOTÕES, COMPARTILHE COM SEUS AMIGOS 😉!
0 Comentários
Seu comentário será publicado em breve e sua dúvida ou sugestão vista pelo Mestre Blogueiro. Caso queira comentar usando o Facebook, basta usar a caixa logo abaixo desta. Não aceitamos comentários com links. Muito obrigado!
NÃO ESQUEÇA DE SEGUIR O BLOG DO MESTRE NAS REDES SOCIAIS (PELO MENU ≡ OU PELA BARRA LATERAL - OU INFERIOR NO MOBILE) E ACOMPANHE AS NOVIDADES!