Matemática
Triângulos
são a unidade fundamental dos polígonos, podendo quaisquer polígonos de mais
vértices ser decompostos em triângulos. Dessa forma, conhecer relações entre
áreas, ângulos, matrizes e semelhança de triângulos é uma boa opção para
desenvolver uma boa parte dos problemas envolvendo estas grandezas. A seguir,
as diferentes formas de calcular estas áreas, de acordo com os dados de um
triângulo que você tiver (de acordo com a figura abaixo):
[Retire desta imagem a notação para as fórmulas a
seguir. Imagem: O Blog do Mestre]
Lados a e b, ângulo entre a e b: com estes dados,
se pode calcular a área de um triângulo, usando o seno do ângulo dado, através
da fórmula:
A = (1/2) · a · b · sen(α)
Quando
o ângulo entre os lados a e b for de 90º, temos a regra geral da área de um
triângulo, que é a metade do produto base vezes altura.
Lados a, b, e c: com estes dados, e sem nenhuma
informação a respeito de ângulos, usaremos a fórmula de Heron:
p = (a + b + c) / 2
A = √(p · (p - a) · (p - b) · (p - c))
Lados a, b, e c, ambos de mesma medida:
neste caso, há uma simplificação:
A = (1/4) · l² · √3
Lados a’, b’ e c’, ângulo entre a’ e b’ de um triângulo
semelhante e uma das dimensões (a, b ou c) do triângulo de que se quer saber a
área:
dois triângulos são semelhantes se mantiverem os mesmos ângulos internos e uma
relação de proporção entre suas dimensões, chamada razão de semelhança, que é
dada pela razão entre uma dimensão pela outra R = a’/a = b’/b = c’/c. Calculando-se
a área do triângulo semelhante do qual se têm dados suficientes, temos:
A’ = área do triângulo de
dados conhecidos;
A = área que se quer saber;
R = razão de semelhança.
Então,
R² = A’/A
A = A’/R²
Coordenadas dos três pontos dos vértices de um triângulo:
quando três pontos estão no espaço, ou compõem uma reta, ou um triângulo.
Quando compõem uma reta, temos área zero, senão temos área não nula. Para
iniciar, construímos uma matriz de linhas l1 = | x1 y1
1|, l2 = | x2 y2 1| e l3 = | x3
y3 1|. Então, temos:
A = (1/2) · det|M| para det|M| sendo o determinante da matriz M
com as linhas 1, 2 e 3
A área de um triângulo de coordenadas cartesianas conhecidas é o
semideterminante de seus pontos.
Algumas
considerações importantes:
1
- A fórmula de razão de semelhança serve para quaisquer figuras semelhantes.
Ela permite, por exemplo, definir a escala de uma figura conhecidas as áreas da
representação e a original.
2
- O ângulo entre dois alinhamentos pode ser conhecido usando uma relação como a
fórmula de Heron e outra fórmula que contenha ângulos, como a Lei dos Cossenos
(d² = a² + b² - 2ab · cos(α))ou a fórmula da área de um triângulo conhecidos
dois lados.
3
– O semideterminante define a condição de linearidade de três pontos. Para
calcular o determinante, é mais simples usar a regra de Sarrus, compondo duas
novas colunas com os elementos da primeira e segunda colunas. Feito isso,
calcula-se o produto das diagonais principais (à favor, por isso com sinal
mantido) e das diagonais secundárias (o que é do contra prefere trocar de
sinal) .
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