O Mínimo Múltiplo Comum e o Máximo Divisor Comum

Matemática

Tanto o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) como o Máximo Divisor Comum (MDC) são importantes para algumas simplificações na Matemática. Eles partem do princípio que os números inteiros positivos são produtos de números primos.

[Eis que temos 7/8 do chocolate. Imagem: Counselling/Pixabay]

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Sendo quaisquer números não primos um produto entre números primos, podemos escrevê-los na forma de produtos de potências de cada número primo e utilizar as propriedades das potências para operá-los. Um exemplo seria um número R formado pelos primos g, h e j:

R = gⁿ • h^m • j^p

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O MMC possui como principal utilidade permitir operações entre frações com denominadores diferentes. Ele é, como o nome aponta, o menor número que é múltiplo de dois ou mais valores.

Por exemplo: Qual o MMC de 3, 9 e 12?

3 = 3 (número primo)

9 = 3 • 3 = 3²

9|3

3|3

1

12 = 2² • 3

12|2

  6|2

  3|3

  1

Separamos a máxima potência de cada fator de número primo. Aqui no exemplo,

* 2²

* 3²

O cálculo do MMC nada mais é do que o produto entre estes fatores máximos:

MMC = 2² • 3² = 4 x 9 = 36

SOMA DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES

Não é possível, matematicamente, somar frações cujos denominadores sejam diferentes. A ideia para resolver este problema consiste em transformar as frações a somar em frações equivalentes com um mesmo denominador. Como fazer isto?

1. Calculamos o MMC dos denominadores diferentes.

2. Consideramos o MMC como denominador das frações.

3. Definimos os numeradores, dividindo o MMC por cada denominador e multiplicando pelo numerador.

Vamos fazer um exemplo? Qual a soma:

3/4 + 5/8 - 1/3?

4|2

2|2

1

4 = 2²

8|2

4|2

2|2

1

8 = 2³

3|3

1

3 = 3¹

MMC = 2² • 3¹ = 8 x 3 = 24.

Sendo 24 o denominador, vamos transformar as frações em equivalentes:

3/4 = (24:4•3)/24 = 18/24

5/8 = (24:8•5)/24 = 15/24

1/3 = (24:3•1)/24 = 8/24

Por fim, efetuando a soma:

18/24 + 15/24 - 8/24 = (18 + 15 - 8)/24 = 25/24.

O MÁXIMO DIVISOR COMUM

Obtidas as respostas de operações com frações, é interessante apresentá-las em uma forma irredutível, ou seja, se a fração for F = a/b e puder ser escrita como F = kc/kd = c/d, sendo a forma básica c/d. O máximo divisor comum (MDC), quando existir, será o fator k procurado.

Ele consiste no produto entre as menores potências de cada fator primo dos números em questão.

Por exemplo: Qual o MDC de 3, 9 e 12?

3 = 3 (número primo)

9 = 3 • 3 = 3²

9|3

3|3

1

12 = 2² • 3

12|2

  6|2

  3|3

  1

Separamos a mínima potência de cada fator de número primo que apareça em todas as decomposições (importante lembrar disto). Aqui no exemplo,

* 2⁰

* 3¹

O cálculo do MDC nada mais é do que o produto entre estes fatores mínimos:

MDC = 2⁰ • 3¹ = 1 • 3 = 3.

A FRAÇÃO IRREDUTÍVEL COM MDC

Conforme vimos no item anterior, queremos achar o fator k, ou seja, o MDC para obtermos a forma irredutível das frações. Encontrado o MDC, dividiremos numerador e denominador da fração pelo mesmo valor, obtendo a fração irredutível.

Por exemplo: qual a forma irredutível de 9/12?

Sendo o MDC de 9 e de 12 o número 3:

9/12 = (9:3)/(12:3) = 3/4.

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