Notações somatório e produtório

A Matemática e o seu poder de compactação

 

Σ e Π

 

Para todos os tipos de situações em que há séries de elementos ou operações repetitivas, sempre há algum modo de torná-las mais simples por meio de notações diferenciadas. Começando pela multiplicação, temos somas com parcelas iguais (3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3 = 12), potências que são produtos com fatores iguais (5 · 5 · 5 = 5³), somatórios, produtórios, fatoriais e integrais. Nada mais são estas notações do que uma forma de passar a mesma ideia sem ter de descrever tais repetições com reticências, e, juntamente com estruturas literais (o uso apenas de letras), permitir a descrição de fórmulas de maneira mais geral.

A notação somatório é uma soma com parcelas que apresentam algum tipo de índice que varia seguindo os números naturais, ou que dependa do crescimento destes, seguindo uma regra de formação repetitiva. Possuem um índice inicial, colocado em subscrito, e outro índice, que indica o valor final que o repetidor assumirá. Um somatório é representado pela letra grega sigma maiúscula. Vejamos alguns exemplos de somatórios:

Σⁿ_{k = 1} x_k = x₁ + x₂ + ··· + x_n

Σⁿ_{k = 1} k = 1 + 2 + ··· + n

Σⁿ_{k = 2} (2x_k + 1) = (2x₂ + 1)+ (2x₃ + 1) + ··· + (2x_n + 1) = 2 · (Σ^{n -1}_{k = 1} x_k) + (n - 1) · 1

Σⁿ_{i = 0} Σⁿ_{j = 0} y_j(x_i - 3) = (y₀ + y₁ + y₂ + ··· + y_n) Σⁿ_{i = 0} (x_i - 3) =

= (y₀ + y₁ + y₂ + ··· + y_n) · [(x₀ - 3)+ (x₁ - 3) + ··· + (x_n - 3)] =

= (Σⁿ_{i = 0}x_i - (n + 1) · 3) · (Σⁿ_{j = 0} y_j)

O primeiro somatório, segundo a regra usual de nomenclatura, é dito somatório de x_k, para k variando de 1 até n. Os demais seguem este estilo de denominação. Os somatórios, nada mais sendo que grandes somas, seguem as propriedades usuais da soma. O somatório da soma é a soma dos somatórios. Constante multiplicando cada termo em somatório, por fatoração, é igual ao produto desta constante pelo somatório total das parcelas que variam com o índice. Somatório de constante é igual à diferença entre os índices superior e inferior (ou a diferença mais um, se considerarmos índices iniciando de zero) vezes a parcela repetitiva. Também pode haver parcelas iterativas com produtos em duplo índice, onde um somatório multiplica cada parcela, e é possível dizer que o somatório dos produtos é o produto dos somatórios.

Note-se que somatórios são usados para simplificar somas com variáveis discretas e com um ordenador k natural, sendo a forma natural para a construção de algoritmos de computador. Mas, analiticamente, quando as parcelas são infinitesimais, temos um somatório mais apropriado que é a Integral.

A notação produtório é representada pela letra grega pi maiúsculo, sendo um grande produto de fatores iterativos que dependem de índice variando de acordo com os naturais. Também ocorre índice superior e inferior, e são aplicadas as propriedades comutativa e associativa dos produtos na resolução de produtório. É interessante notar que o fatorial de um número pode ser facilmente descrito por um produtório, exceto zero. Vejamos alguns casos:

Πⁿ_{k = 1} x_k = x₁ · x₂ · ··· · x_n

Πⁿ_{k = 1} k = 1 · 2 · ··· · n = n!

Πⁿ_{k = 1} 3k = 3 · 1 · 3 · 2 · ··· · 3 · n = 3ⁿ · n! = 3ⁿ · Πⁿ_{k = 1} k

Πⁿ_{i = 0} y_i(x_i - 3) = y₀(x₀ - 3) · y₁(x₁ - 3) · ··· · y_n(x_n - 3) = Πⁿ_{i = 0} y_i · Πⁿ_{i = 0} (x_i - 3)

 Observemos que só podemos usar zero como índice inicial se este permanecer como índice, ou como potência. Caso contrário, todo o produtório pode zerar. Constante multiplicando produtório é igual a constante elevada à diferença entre os índices do produtório. Daí surge a ideia de que que uma potência inteira nada mais é do que um produtório de uma constante. O produtório de um produto é o produto dos produtórios.

A notação produtório é útil, mas é pouco usada em comparação à notação somatório, que é usada em aplicações matemáticas em deduções, cálculos estatísticos, métodos numérico-computacionais para descrição de pseudoalgoritmos.

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