As capicuas

Matemática

As capicuas ou palíndromos são alguns números com propriedades interessantes. Se você lê os algarismos começando pela direita ou pela esquerda, tem-se o mesmo numeral.

Nos dominós, também existem as peças capicuas. Elas são capazes de levar à vitória em qualquer um de seus lados.

Vamos falar mais sobre as capicuas nesta postagem. Também iremos relembrar alguns conceitos de análise combinatória associados a elas.

[Imagem: Alexas Fotos]

» Mantendo os namorados juntos

» Quantas combinações diferentes são possíveis na Mega Sena?

» A "Ana Diferentona" ou "Ana Bolt"

QUAL A CAPICUA MAIS FAMOSA?

Dentre as capicuas existentes, a mais famosa é o número 171. Este número ficou conhecido como o símbolo dos ladrões e trapaceiros.

Outra capicua bem conhecida é o número 666. Ele possui má fama, sendo associado ao coisa-ruim.

QUANTAS CAPICUAS EXISTEM?

Assim como o conjunto dos números naturais, infinitas são as capicuas existentes. O que vai mudar nelas é a presença ou não de algarismos repetidos, e o número destes algarismos.

De acordo com o conceito, a partir de dois dígitos já se teria uma capicua. Por outro lado, falar de dígitos espelhados com menos de três parece fazer pouco sentido.

CALCULANDO O NÚMERO DE CAPICUAS, COM OU SEM REPETIÇÃO DE ALGARISMOS EM TORNO DO CENTRO

Mais interessante do que as próprias capicuas seria calcular quantas delas existem para um dado número de algarismos.

O primeiro passo é trabalhar com a metade da capicua (se for com um número par de dígitos) ou com a metade mais um do número par imediatamente inferior. Por exemplo: se eu quero calcular quantas capicuas há com quatro (4) dígitos, vou considerar a metade, ou seja, (2). Já se eu quisesse saber quantas capicuas há com cinco dígitos, vou trabalhar com três dígitos:

(n - 1)/2 + 1 =

(5 - 1)/2 + 1 = 4/2 + 1 = 3.

O segundo passo é verificar se a capicua vai poder ter repetição em torno do centro ou do dígito central. Se as capicuas podem ter repetição de dígitos, temos um exemplo de arranjo com repetição. Caso não puder acontecer, nosso limite está em vinte algarismos, em um caso de permutação.

Capicuas com repetição de dígitos

Para arranjos com repetição de elementos, tem-se, com k elementos tomados em conjuntos de p posições:

A (k, p) = k^p.

No caso das capicuas, temos nove elementos (dígitos) no extremo direito ou esquerdo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e dez dígitos para as demais posições (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Isso acontece em função de zero à esquerda não possuir valor, e pelo espelhamento dos dígitos.

Assim, se a capicua tiver n dígitos, sendo n par:

Dígitos considerados: n/2 ou 0,5n.

A (k, p) = k^p.

O primeiro dígito aceita só nove termos, então vamos usar a fórmula dos arranjos com repetição a partir do segundo dígito:

Ncapicuas = 9×10^(n/2 - 1) = 9 x 10^(0,5n - 1)

Já se a capicua tiver um número ímpar de dígitos (m):

Dígitos considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1

A (k, p) = k^p.

O primeiro dígito aceita só nove termos, então vamos usar a fórmula dos arranjos com repetição a partir do segundo dígito:

Ncapicuas = 9×10^[0,5(m - 1) + 1 - 1] =

Ncapicuas = 9×10^[0,5(m - 1)]

Vamos exemplificar com capicuas contendo quatro ou cinco dígitos que podem repetir:

(4)

Dígitos considerados: 4/2 = 2.

Ncapicuas = 9×10^(2 - 1) = 9 x 10^(1)

Ncapicuas = 90, ou seja, existem noventa capicuas com quatro dígitos podendo haver repetição.

(5)

Dígitos considerados: (5 - 1)/2 + 1 = 4/2 + 1 = 3.

Ncapicuas = 9×10^[0,5(5 - 1)]

Ncapicuas = 9×10^[0,5(4)]

Ncapicuas = 9×10^(2) = 900, ou seja, tem-se novecentas capicuas diferentes considerando poder existir repetição de dígitos, com cinco algarismos.

Capicuas sem repetição de dígitos até o centro/dígito central

Como só existem dez dígitos em nosso sistema numérico, há um limite no número destas capicuas, não se conseguindo maiores do que vinte algarismos. Neste problema, já estamos falando de arranjos simples com k dígitos tomados p a p:

A' (k, p) = k!/[(k - p)!]

O dígito mais à esquerda não pode receber o número zero, logo temos nove opções para ele. Nos demais, podemos aplicar a fórmula para os arranjos sem repetição (A'), considerando nove dígitos novamente, pois acrescentamos o zero e tiramos outro dígito.

Assim, se a capicua tiver n dígitos, sendo n par:

Dígitos considerados: n/2 ou 0,5n.

Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (0,5n - 1)]!}

Ou se forem m dígitos, com m ímpar:

Dígitos considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1

Ncapicuas = 9 x 9!/{[9 - (0,5(m - 1)+ 1)]!}

Vamos exemplificar com capicuas de quatro e cinco dígitos:

(4)

Dígitos considerados: n/2 ou 0,5n = 2.

Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (2 - 1)]!}

Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - 1]!}

Ncapicuas = 9 × 9!/{8!}

Ncapicuas = 9 × 9 = 81

Ou seja, existem oitenta e uma capicuas sem dígitos repetidos e com quatro algarismos.

(5)

Dígitos considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1 = 0,5(5 - 1) + 1 = 3

Ncapicuas = 9 x 9!/{[9 - (0,5(5 - 1)+ 1)]!}

Ncapicuas = 9 x 9!/{[9 - (3)]!}

Ncapicuas = 9 x 9!/{6!}

Ncapicuas = 9 x 9 × 8 × 7 = 4.536.

Veja que há quatro mil, quinhentas e trinta e seis capicuas possíveis com cinco algarismos, sendo dois algarismos distintos em torno do dígito central, também diferente dos demais, como no número 43234, por exemplo.

E as maiores capicuas sem repetição de dígitos em torno do centro - quantas são?

(20)

Dígitos considerados: n/2 ou 0,5n = 10.

Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (10 - 1)]!}

Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (9)]!}

Ncapicuas = 9 × 9!/{0!}

Como 0! = 1,

Ncapicuas = 9 × 9! = 9 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.265.920.

Pelas nossas contas, passam de três milhões de capicuas diferentes contando com vinte dígitos, diferentes entre si em torno do centro da capicua, como em 80976543211234567908.

□

👉 E ainda mais para você: Aproximando a Binomial pela Normal

GOSTOU DESTA POSTAGEM ☺? USANDO A BARRA DE BOTÕES, COMPARTILHE COM SEUS AMIGOS 😉!