Matemática

“Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?”

Esta foi uma questão da OBMEP 2006 e que serve bem para ilustrar quando temos uma combinação. Combinações são enumerações de possibilidades distintas em que a ordem dos elementos altera o resultado final, o que é o caso acima, pois desejamos dispor os namorados de forma que ambos possam estar um ao lado do outro. As combinações, de forma geral, são representadas pela fórmula que segue:


[Imagem: Só Pensando]


C = n! / [p! (n – p)!]

Sendo n o número total de elementos disponíveis para escolha e p a quantia que será ‘tomada’ entre eles para compor uma combinação. Porém, para este exemplo, não se aplicaria este conceito direto, devido à segunda restrição que quem senta ao lado de quem. Então, como resolver este problema?

Ou princípio em análise combinatória é o de definir combinações com base em quantas possibilidades ainda existem. Supondo que a primeira pessoa deseja se sentar. Há 6 possibilidades diferentes para isto acontecer. Após a primeira sentar, só há uma  possibilidade para a segunda pessoa. Após, há 4, 1, 2 e 1 possibilidades, seguindo o mesmo raciocínio. Logo, a totalidade das combinações possíveis é de 6 · 1 · 4 · 1 · 2 · 1 = 48.



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