Centroide de figuras planas

Matemática

O centroide ou centro geométrico de figuras planas é um ponto utilizado em equações matemáticas e físicas, como se todas as propriedades do corpo estivessem concentradas nele. Mas, é claro, essas aproximações exigem condições especiais. No caso de materiais homogêneos e que não variem suas propriedades ao longo de uma seção transversal, o centroide coincide com o eixo do centro de gravidade do corpo.

Pegando um elemento retangular de lados dx por dy, cujas coordenadas em um sistema cartesiano são (x, y). Calculando a área deste elemento, temos dA = dx · dy, e, multiplicando esta área por uma das coordenadas do elemento, temos os momentos estáticos de área dQX = xdA e dQY = ydA.




Agora, vamos supor que esse elemento dx por dy compõe uma área de uma figura qualquer. Essa área qualquer possui um centroide (x’, y’) e momentos estáticos de área QX = x’A e QY = y’A. No início, foi dito que o centroide de uma figura concentraria as mesmas propriedades do conjunto dos trechos que compõem a figura plana. Logo, a soma dos momentos estáticos de área dQX e dQY deve ser igual aos momentos estáticos QX e QY.

Como somamos elementos infinitesimais por integrais, temos que:

ʃ dQX = QX e ʃ dQY = QY

Sabendo que QX = x’A e QY = y’A,

ʃ dQX = x’A e ʃ dQY = y’A

Isolando as coordenadas (x’, y’) do centroide, as quais queríamos descobrir:

x’ = ( ʃ dQX )/ A e y’ = ( ʃ dQY ) / A

Se não precisamos tratar com figuras complexas, como áreas compostas de figuras retangulares, podemos sair das áreas discretas e usar somatórios:

x’ = ƩQXi / A e y’ = ƩQYi  / A

Outra forma de melhor visualizar:

x’ = Ʃ i=1n(Ai · xi) / Ʃ i=1n (Ai) e y’ = Ʃ i=1n (Ai · yi) / Ʃ i=1n (Ai).

1 – Qual o centroide da figura exemplo acima?
Note que se pode dividir em duas figuras, com áreas não infinitesimais. Ambas estão com um eixo coincidente, logo terão a mesma coordenada x, e y variará. Sendo dois quadrados de lado 2 e 3, temos A1 = 4  e A2 = 9, e A = 13.
Assim, y’ = Ʃ i=1n (Ai · yi) / Ʃ i=1n (Ai) = [(4 · 1) + (9 · 3,5)] / 13 = 2,73

Note que:

a)  Para conhecer o centroide de figuras compostas, é preciso saber o centroide de cada uma das áreas planas as quais se separa para cálculo. Para um quadrado ou retângulo, é o encontro das diagonais. Para um triângulo retângulo, há um terço da medida dos catetos, partindo do ângulo reto e unindo estas coordenadas;

b) Para outras figuras, se pode fazer o raciocínio acima, integrando infinitesimais;

c) O centroide tende a se aproximar da porção de maior área concentrada.






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