Encontrando a reta tangente ao ponto de uma curva

watch_later 27 de outubro de 2014
comment Comentar
Matemática 

Para a resolução deste corriqueiro problema no mundo da matemática, podem ser usadas diferentes técnicas, porém a técnica geral mais efetiva está associada ao cálculo diferencial. As derivadas são definidas como as funções que indicam qual a taxa de variação de uma função, ou, em termos gráficos, a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Então, desta ideia é que partirá a nossa solução.

Calcular reta tangente à curva em um ponto dado
[Imagem: Gerador de gráficos do Google]



Para que possamos encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um dado ponto, primeiramente devemos verificar se esta curva, dada por uma função f(x) é diferenciável. Verificada esta condição, calcula-se f’(x) para o valor de x correspondente ao ponto de interesse. Com isso, obtemos a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.
Encontrada a inclinação, precisamos apenas de um ponto da reta tangente, que, curiosamente, é o próprio ponto (x,f(x)) do qual queremos que, obrigatoriamente, haja passagem desta reta. Pela equação de encontrar uma reta dada a inclinação m e um ponto (x0, y0), sendo y0 = f(x0):

(y – y0) = m(x – x0)
(y – f(x0)) = f’(x0) · (x – x0)
y = f’(x0) · (x – x0) + f(x0)
y = f’(x0) · x + (f(x0) - f’(x0) · x0)       [1]

Ex 1: Dada a curva f(x) = x² + 2x – 5, qual a reta tangente ao ponto cuja abscissa é 8?

O ponto cuja abscissa é 8 é o ponto (8, 75).
Encontrando a derivada de f(x), temos que f’(x) = 2x + 2.
Substituindo, para x0 = 8, temos f’(8) = 18, que é a inclinação da reta tangente ao ponto.
Em seguida, substituindo em [1], temos:
y = 18x + (75 – 18 · 8) = 18x -69
Logo, a equação da reta tangente ao ponto é:
y(x) = 18x – 69.

Veja o gráfico correspondente às duas curvas na figura acima. (as escalas horizontal e vertical são diferentes).


1000° POST! - E ainda mais para você: Teoremas de Rolle e do valor médio




Þ GOSTOU DESTA POSTAGEM? USANDO ESTES BOTÕES, COMPARTILHE COM SEUS AMIGOS!
  • chevron_left
  • chevron_right

Seu comentário será publicado em breve e sua dúvida ou sugestão vista pelo Mestre Blogueiro. Caso queira comentar usando o Facebook, basta usar a caixa logo abaixo desta. Muito obrigado!

NÃO ESQUEÇA DE SEGUIR O BLOG DO MESTRE NAS REDES SOCIAIS (PELO MENU ≡ OU PELOS ÍCONES CIRCULARES) E ACOMPANHE AS NOVIDADES!

sentiment_satisfied Emojis do Google (texto para inserir)