A Ana “Diferentona” ou Ana “Bolt”

Matemática

Aqui no Blog do Mestre é costumeiro responder a alguns desafios circulantes na web e redes sociais. Também são resolvidos alguns problemas especiais de matemática que integraram provas de matemática como a OBMEP. O desafio de hoje consiste em uma questão que envolve conceitos básicos de Física e de Matemática, da edição 2017 da OBMEP. Esta, como outras questões, foi bastante “trollada” nas redes sociais, mas, para os amantes de matemática, é visível que quem não é amante esquece de enxergar que equações só têm valor se resolvem problemas reais, e isso ocorre em muitos casos. A Real Matemática está na linha algébrica e na resolução de problemas! 

[Imagem: Papo de esteira]

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Após um pequeno desabafo de um amante da matemática, vamos à questão da “Ana Diferentona”:

“Ana, Beatriz e Cristina treinam numa pista de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fim da pista, correndo em sentido contrário ao de suas amigas, no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas que tinha percorrido vinte metros desde o momento em que cruzou com Beatriz até o momento em que cruzou com Cristina. Quantos metros tem a pista?

A) 200 m;

B) 220 m;

C) 240 m;

D) 300 m;

E) 360 m. “

Considerando velocidade média, a Física indica que a velocidade é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo considerado. Nada de pensar em aceleração ou outros complicadores! Assim:

v = ∆x/∆t

Relacionando as velocidades de Ana, Beatriz e Cristina, v_a, v_b e v_c, temos:

v_a = 2v_b = 3v_c,

No momento em que Ana e Beatriz se cruzaram, num mesmo ∆t₁ decorrido, temos:

∆t₁ = ∆x_a/v_a = ∆x_b/v_b

∆x_a/v_a = ∆x_b/v_b

∆x_a/2v_b = ∆x_b/v_b

∆x_a/2 = ∆x_b

∆x_a = 2∆x_b

Já considerando um intervalo de tempo ∆t₂ necessário ao encontro de Ana e Cristina, temos:

∆t₂ = (∆x_a + 20)/v_a = ∆x_c/v_c

(∆x_a + 20)/v_a = ∆x_c/v_c

Substituindo as relações entre o deslocamento de Ana e de Beatriz, assim como a relação entre as velocidades de Beatriz e Cristina, chegamos ao seguinte:

(2∆x_b + 20)/ 2v_b = ∆x_c/(2v_b/3)

(∆x_b + 10)/ v_b = 3∆x_c/2v_b

(∆x_b + 10) = 3∆x_c/2

∆x_b  = 3∆x_c/2 - 10

O comprimento total da pista T é dado pela soma entre os deslocamentos de Ana e Beatriz no instante 1 e Ana e Cristina no instante 2, pois elas cruzavam em sentidos opostos.

T = ∆x_a + ∆x_b = (∆x_a + 20) + ∆x_c

2∆x_b + ∆x_b = (2∆x_b + 20) + ∆x_c

3∆x_b = (2∆x_b + 20) + ∆x_c

∆x_b = ∆x_c + 20

Agora temos duas equações com os deslocamentos de Beatriz e Cristina, em seus devidos instantes de tempo. Basta substituir para obter uma variável e ir destrinchando as outras.

∆x_b  = 3∆x_c/2 – 10 = ∆x_c + 20

3∆x_c/2 – 10 = ∆x_c + 20

3∆x_c/2 - ∆x_c = 30

∆x_c/2 = 30

∆x_c = 60

∆x_b = ∆x_c + 20

∆x_b = 80

T = 3∆x_b = 240 m

Assim, chegamos à conclusão de que a pista possui duzentos e quarenta metros de extensão, ou seja, a opção C.

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