Os cinco postulados e a geometria euclidiana

Matemática


As definições de ponto, reta e geometria plana e espacial das quais estamos acostumados vêm de uma forma de conceber o espaço e estabelecer seus elementos segundo um sistema de referência. No caso da geometria euclidiana, temos o espaço sendo representado por elementos segundo um sistema contendo três eixos cartesianos ortogonais em sua origem.

http://www.oblogdomestre.com.br/2017/05/PostuladosDeEuclides.GeometriasEuclidianasOuNao.Matematica.html
[Imagem: Ciências Mundi]



Na coleção “Os Elementos”, escrita pelo matemático Euclides, reuniu-se quase todo o conhecimento de Matemática Básica existente (por volta de 300 a.C), em 13 volumes. Foram dispostos axiomas, postulados e proposições deduzidas através de encadeamento lógico-dedutivo, ou seja, o mais complexo partindo do mais simples.

Dentro d’Os Elementos, Euclides estabelece cinco postulados, que são hipóteses aplicáveis em sua totalidade especificamente à geometria euclidiana, quais sejam:

1 – Pode-se traçar uma (única) reta (segmento) por quaisquer dois pontos;

2 – Pode-se continuar (de modo único) uma reta infinitamente;

3 – Pode-se traçar uma circunferência com quaisquer centro e raio;

4 – Todos os ângulos retos são iguais;

5 – Se uma reta corta duas outras retas formando ângulos colaterais internos cuja soma é menor do que dois retos, então as duas retas, se continuadas infinitamente, encontram-se no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois retos.

Nos postulados de Euclides estão implícitas as ideias de retas paralelas ou concorrentes, dos ângulos internos de um triângulo como sendo de 180º, dentre outras. Considerando todos os 5 postulados, o 5º, de redação mais complexa, foi o que passou por um maior número de questionamentos e tentativas de ser comprovado, buscando-se trazer a ideia do “encontro” entre retas no infinito.


Partindo-se da tentativa de provar o 5º postulado, a Matemática evoluiu, ao deixar de considerar que a geometria Euclidiana seria a única possível, passando a abranger as chamadas geometrias não-euclidianas, como a esférica (o espaço descrito através de retas, que unem dois pontos por meio de um segmento com uma origem e raio, onde não há paralelismo, mas ainda vale a ideia da menor distância entre dois pontos, ou seja, o círculo máximo corresponde às retas, neste caso) e a hiperbólica (onde há pelo menos duas retas paralelas, com uma superfície hiperbólica descrevendo o espaço). 

Na geometria esférica, por exemplo, os ângulos internos de um triângulo (o triângulo esférico) vão de 180º a 540º. Outras particularidades nas geometrias não-euclidianas vão em contraponto aos postulados válidos à euclidiana, sendo necessário conhecê-las e aplicar o modelo de geometria que mais se adeque ao problema prático que tivermos. 


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