A Ana “Diferentona” ou Ana “Bolt”

watch_later 23 de julho de 2017
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Matemática


Aqui no Blog do Mestre é costumeiro responder a alguns desafios circulantes na web e redes sociais. Também são resolvidos alguns problemas especiais de matemática que integraram provas de matemática como a OBMEP. O desafio de hoje consiste em uma questão que envolve conceitos básicos de Física e de Matemática, da edição 2017 da OBMEP. Esta, como outras questões, foi bastante “trollada” nas redes sociais, mas, para os amantes de matemática, é visível que quem não é amante esquece de enxergar que equações só têm valor se resolvem problemas reais, e isso ocorre em muitos casos. A Real Matemática está na linha algébrica e na resolução de problemas! 

http://www.oblogdomestre.com.br/2017/07/AnaDiferentona.QuestaodaOBMEP2017.Matematica.html
[Imagem: Papo de esteira]



Após um pequeno desabafo de um amante da matemática, vamos à questão da “Ana Diferentona”:

“Ana, Beatriz e Cristina treinam numa pista de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fim da pista, correndo em sentido contrário ao de suas amigas, no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas que tinha percorrido vinte metros desde o momento em que cruzou com Beatriz até o momento em que cruzou com Cristina. Quantos metros tem a pista?

A) 200 m;
B) 220 m;
C) 240 m;
D) 300 m;
E) 360 m. “

Considerando velocidade média, a Física indica que a velocidade é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo considerado. Nada de pensar em aceleração ou outros complicadores! Assim:

v = x/t

Relacionando as velocidades de Ana, Beatriz e Cristina, va, vb e vc, temos:

va = 2vb = 3vc,

No momento em que Ana e Beatriz se cruzaram, num mesmo t1 decorrido, temos:

t1 = xa/va = xb/vb
xa/va = xb/vb
xa/2vb = xb/vb
xa/2 = xb
xa = 2xb

Já considerando um intervalo de tempo t2 necessário ao encontro de Ana e Cristina, temos:

t2 = (xa + 20)/va = xc/vc
(xa + 20)/va = xc/vc

Substituindo as relações entre o deslocamento de Ana e de Beatriz, assim como a relação entre as velocidades de Beatriz e Cristina, chegamos ao seguinte:

(2xb + 20)/ 2vb = xc/(2vb/3)
(xb + 10)/ vb = 3xc/2vb
(xb + 10) = 3xc/2
xb  = 3xc/2 - 10

O comprimento total da pista T é dado pela soma entre os deslocamentos de Ana e Beatriz no instante 1 e Ana e Cristina no instante 2, pois elas cruzavam em sentidos opostos.

T = xa + xb = (xa + 20) + xc
2xb + xb = (2xb + 20) + xc
3xb = (2xb + 20) + xc
xb = xc + 20

Agora temos duas equações com os deslocamentos de Beatriz e Cristina, em seus devidos instantes de tempo. Basta substituir para obter uma variável e ir destrinchando as outras.

xb  = 3xc/2 – 10 = xc + 20
3xc/2 – 10 = xc + 20
3xc/2 - xc = 30
xc/2 = 30
xc = 60

xb = xc + 20
xb = 80

T = 3xb = 240 m

Assim, chegamos à conclusão de que a pista possui duzentos e quarenta metros de extensão, ou seja, a opção C.


E ainda mais para você: Mantendo os namorados juntos



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