Comparando preços

Matemática

Muitas pessoas, inclusive os alunos, questionam-se a respeito da utilidade de se estudar matemática da forma que conhecemos. Mas há aplicações práticas que facilitam o dia-a-dia e que se baseiam nas propriedades das operações e outras regras que nos são ensinadas.

O que se torna difícil, por vezes, é ligar o aprendido, ao prático. Nesse post, vamos trazer algumas ideias interessantes de aplicação em probleminhas diários com comparações ou cálculos de preços.

[Imagem: nattanan23/Pixabay]

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O CASO DA FITA

Certa vez, mestre Blogueiro e sua amiga foram comprar fita para fazer laços para árvore de natal. Na ocasião perceberam que 0,80 m de fita seriam suficientes para fazer laços de bom tamanho. Os preços variavam segundo a estampa da fita, sendo todos diferentes. Foram comprados oito pedaços com os seguintes preços por metro: R$ 2,50; R$ 2,00; R$ 1,80; R$ 3,50; R$ 2,20; R$ 2,30; R$ 2,10; e R$ 2,60.

Lojas de aviamentos tradicionais, daquelas de interior, não possuem computador e software para consulta. Assim, o jeito era usar uma calculadora. E o vendedor o fez. Calculou o preço de cada fita e depois somou:

R$ 2,50 / m • 0,80 m = R$ 2,00

R$ 2,00 / m • 0,80 m = R$ 1,60

R$ 1,80 / m • 0,80 m = R$ 1,44

R$ 3,50 / m • 0,80 m = R$ 2,80

R$ 2,20 / m • 0,80 m = R$ 1,76

R$ 2,30 / m • 0,80 m = R$ 1,84

R$ 2,10 / m • 0,80 m = R$ 1,68

R$ 2,60 / m • 0,80 m = R$ 2,08

TOTAL = R$ 15,20.

Além de demorar para dar resposta, ele poderia ter propagado vários erros ao somar vários resultados truncados. Para dar um resultado mais rápido e, em algumas vezes mais correto, o vendedor deveria ter usado a propriedade distributiva, que diz que se temos um fator a que se repete em múltiplas parcelas, é válida a igualdade:

ax + ay + az = a • (x + y + z)

Na nossa situação real, o fator a repetido é o comprimento de fita de 0,80 m. Em uma calculadora normal, ele poderia fazer a soma e depois multiplicar pelo fator comum. Já em calculadora científica (física ou de celular) poderia ter montado a expressão com parêntese (melhor ainda). Assim, teríamos:

0,80 • (2,50 + 2,00 + 1,80 +  3,50 + 2,20 + 2,30 + 2,10 + 2,60) = R$ 15,20

Que seria uma conta mais rápida, fácil e que evitaria erros (pelas máquinas usadas, por anotar resultados parciais e somar, ou mesmo por fazer muitas contas seguidas).

QUANTO É MAIS CARO?

Vamos supor que iremos abastecer nosso carro. Lá no posto de gasolina, há as opções de gasolina comum e aditivada, mais cara, e desejamos saber de quanto é a diferença. Dizer só o preço dá ideia de que com um preço maior se leva menos, claro, se não contarmos os benefícios do produto mais caro (como a proteção do motor, no caso da gasolina aditivada).

Supondo que um litro da gasolina comum custe R$ 4,789 e um litro da aditivada R$ 5,149, queremos ter ideia de quantos litros levaremos ao comprar R$ 100,00 de combustível. E se quisermos gastar R$ 120,00, quanto será?

Primeiro, vamos criar um fator de preço. A gasolina comum custa x, a aditivada y. Os fatores de preço serão 1/x e 1/y em [L/R$]. Se queremos saber para um valor fixo p o quanto iremos levar, basta fazer:

1/x • p

E se quiser saber para um segundo valor, basta multiplicar por ele e dividir pelo anterior:

1/x • p • q/p

E depois basta fazer o mesmo para a gasolina aditivada. Aplicando:

Para gasolina comum:

(1/4,789) • 100 = 20,88 L

(1/4,789) • 100 • (120/100) = 25,06 L

Para aditivada:

(1/5,149) • 100 = 19,42 L

(1/5,149) • 100 • (120/100) = 23,30 L

Para fazer essas contas, usando esse formato, há a vantagem de poder usar calculadora comum. E se a gente desejar saber quantos por cento a mais a gente leva comprando gasolina comum em relação à aditivada, basta fazer o seguinte:

[(1/x) • p]/ [(1/y) • p] = (1/x)/(1/y)

(1/x)/(1/y) = y/x

E descontar uma unidade do resultado para ter percentual:

y/x - 1

O que seria, em nosso exemplo:

5,149/4,789 - 1= 0,075 = 7,5/100 = 7,5 %

Ou seja, você leva 7,5 % a menos comprando esse tipo de gasolina. Veja que usamos apenas proporções e fórmulas de primeiro grau.

O DESCONTO DE SETENTA POR CENTO.

Em black friday e outros momentos de liquidação, os consumidores precisam estar atentos aos preços e ver se realmente há vantagem em algumas compras. São prometidos até 70 % de desconto. Supondo que eu queira conferir se a promoção bate, teria de conferir se não foi apenas um subir para baixar.

Num exemplo em que a loja fizesse isso, ela aumentaria o preço p para rp, sendo r o fator de aumento. Se ela "dará" desconto de 70 %, isso quer dizer que ela praticará o valor de 0,3rp. Se ela não dará desconto real e foi um subir para baixar,

0,3rp = p

r = 1/0,3 = 3,33.

Ou seja, ela teria de mais do que triplicar o preço "sem oferta". Isso só demonstra que pode existir manobra para fazer parecer descontos, mas que o valor de tabela anunciado se tornaria surreal. Também não vale a máxima popular de que aumentam 70 % para baixar 70 %, senão a conta não iria fechar.

O que acontece é de haver altos 'descontos' para itens mais baratos, e descontos menores em itens de maior valor. Então, nesse caso, a conta é simples: dividir o preço anunciado na liquidação pela média do preço anterior nos últimos meses. Se for menor do que um o resultado, é um bom negócio.

RECEBER HOJE OU DAQUI A TRINTA DIAS (NA SUA PERSPECTIVA E NA DOS OUTROS)

Se você recebe R$ 2.000,00 hoje ou quatro parcelas de R$ 500,00 nos próximos quatro meses não é a mesma coisa. Além do poder de compra diminuir no momento atual, inflação e possíveis rendimentos mexem nesse equilíbrio. Há aplicações em bancos digitais que oferecem rendimento diário, inclusive.

Para comparar esses dois mil reais, ou VP1, iremos calcular o valor presente 2 (VP2) do parcelado. Considerando períodos em meses e a taxa de i = 0,37 % a.m. para rendimento da conta-poupança.

VP2 = v1/(1 + i)^1 +  v2/(1 + i)^2 + v3/(1 + i)^3 + v4/(1 + i)^4

VP2 = 500/(1,37)^1 + 500/(1,37)^2 + 500/(1,37)^3 + 500/(1,37)^4 = 967,74

Comparando VP1 = R$ 2.000,00 com VP2 = R$ 967,74, tem-se que trazendo os valores para o presente, seria mais vantajoso para você receber antes o pagamento de uma conta. Os valores presentes não serão o valor que você terá ao final dos quatro meses, mas apontam o valor maior como sendo o melhor investimento.

Assim, sem fazer contas e pensando na fórmula, você deve priorizar pagar em mais parcelas (se o valor total não subir) e receber mais rápido. Pode guardar seu dinheiro, deixá-lo render e ir pagando mensalmente.

Agora se o lojista (ou para quem você deve) oferecer desconto à vista, pode ser bom calcular valor presente. A diferença é que VP1 receberá desconto (multiplica-se por um menos o desconto) ao ser comparado com VP2.

SÃO R$ 9,99 OU R$ 10,00?

Quando um produto custa R$ 9,99 ou R$ 9,99 por quilo, não são dez reais na maioria das vezes. O valor descrito pelo produto é que é somado pelos leitores de códigos de barras para calcular o total a acertar. A balança calcula o preço do produto pelo preço por quilo de referência, não arredondado.

Os R$ 9,99 serão R$ 10,00 apenas se for comprado um único produto com esse valor e o pagamento for com dinheiro, onde a falta de moedas dá margem a arredondamentos. Se você pagar com cartão (de crédito sem mensalidade ou de débito), irá pagar o valor exato. E isso faz diferença? Se você fizer quinhentas compras em um ano, são R$ 5,00, ou um pastel de padaria (dependendo o local).   Pode parecer pouco, mas economias somadas fazem sim a diferença..

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