Matemática
Há quem diga que Matemática é gostar de
números e mais números. Quem conhece um pouco mais do assunto sabe que o uso de
variáveis, generalizações e outros conceitos é muito mais intenso. Pode ser que
se substitua valores numéricos, ocasionalmente, ao fim de uma expressão, ou nem
se faça isso, com numerais servindo apenas como coeficientes de variáveis. Mas,
quando alguma constante apresenta propriedades interessantes e vasta aplicação,
mesmo sendo um número, recebe toda a atenção. É o caso do número e.
[Imagem: Icons etc.]
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Inicialmente, vamos falar de seu valor
número e e de que expressão ele é
advindo. Alguns estudiosos gostam de usar um exemplo de um banco generoso, mas
isso seria muito estranho. Para facilitar seu raciocínio, primeiramente faça
alguns testes (isso não prova nada em Matemática, mas apenas a título de
curiosidade, para observar uma tendência): Considere um número n e faça (1 +
1/n)n. Faça isso para 1, 2, 100, 1.000, 10.000, 1.000.000, etc. Note
que há uma tendência de valor à medida que os valores de n crescem.
Agora vamos pensar nisso na forma de um
limite. Considerando o limite abaixo, cuja dedução da resolução não será
realizada aqui, chega-se à seguinte conclusão:
lim n → ∞ (1
+ 1/n)n = 2,71828182845904523536028... = e
O número e
é uma dízima não periódica, sendo irracional (não pode ser representado na
forma da razão a/b com a e b inteiros) e transcendental (não é raiz de
polinômio P(x) com coeficientes ai inteiros). Duas aplicações de e se demonstram bastante importantes: na
forma de base logarítmica e como função primitiva, na forma exponencial.
Como função primitiva, no cálculo diferencial,
há uma interessante propriedade. Considerando uma função:
f(x) = ax
Sua função derivada (que expressa a taxa de
variação instantânea da função primitiva), será a seguinte:
f’(x) = ax ∙ ln a
Quando a base a é tomada como sendo o número
e, o logaritmo ln de e é igual à unidade. Assim, f(x) = f’(x),
ou seja, a função exponencial de base e
é igual à sua taxa de variação, ou seja, igual a sua derivada. Há alguns
fenômenos que podem ser modelados pela função exponencial de base e, chamada de base exponencial natural. Segundo
Elon Lima, alguns destes fenômenos são os juros, crescimento populacional de
seres vivos e desintegração radioativa, onde existe proporcionalidade entre
taxa de variação e valor instantâneo.
Atribui-se a letra e à inicial de exponencial, ou ainda ao sobrenome do matemático Leonard
Euler, que efetivamente calculou o valor da constante. Considerando e como base logarítmica, temos o logaritmo
natural ou neperiano, em homenagem a John Napier (ou Néper). Esta base é uma
das mais recorrentes, em conjunto com a base 10 (que fica omissa na
representação desses logaritmos). Utilizar logaritmos, principalmente em tempos
mais remotos, servia principalmente para operar números grandes, usando seus
expoentes, caso postos na mesma base. Em outros tempos, era comum ainda o uso
de réguas, como forma de consulta.
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E ainda mais
para você: Limites Indeterminados e a regra de L'Hospital
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