A forma trigonométrica dos números complexos

 Matemática

 

Algumas operações matemáticas entre números complexos são facilitadas quando feitas com esses números em sua forma trigonométrica. Para começar a fazer essas operações, é preciso aprender como partir da forma tradicional z = a + bi para a forma trigonométrica. Confira nesse post o passo a passo e os princípios matemáticos envolvidos.

 

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O PLANO DE ARGAND-GAUSS

 

Os números complexos possuem uma representação espacial (Afixo), num plano chamado de Argand-Gauss. Nesse plano, a parte real é representada no eixo das abscissas e a imaginária no eixo das ordenadas. O número complexo, por sua vez, será um vetor que começa na origem e vai até o ponto (a, b). O ângulo entre o eixo dos reais e o vetor Z é chamado de argumento ou θ.

 

[Imagem: O Blog do Mestre]

 

Sempre que um número tiver apenas uma parte real, estará sobre o eixo real. Quando um número só possuir parte imaginária (a = 0), ficará acima do eixo imaginário.

 

CONVERTENDO PARA A FORMA TRIGONOMÉTRICA

 

Para convertermos um número imaginário z = a + bi para a forma trigonométrica, vamos partir do triângulo retângulo com o ângulo θ, de catetos a e b.

 

sen θ = a / |z|

cos θ = b / |z|

 

Isolando a e b nessas expressões:

 

a = |z| sen θ

b = |z| cos θ

 

Substituindo:

 

z = a + bi

z = |z| sen θ + (|z| cos θ)i

z = |z| (sen θ + i cos θ)

 

VAMOS FAZER UM EXEMPLO?

 

1) Qual a forma trigonométrica de z = 1 + 2i ?

 

R. Vamos precisar calcular dois parâmetros: |z| e qual o ângulo que corresponde ao argumento.

 

|z| = (1² + 2²)^0,5 = 5^0,5 = 2,24

θ = arctan (2/1) = arctan (2) =  63º ou 1,11 radianos

 

Substituindo:

 

z = 2,24 (sen (1,11) + i cos (1,11))

 

Essa resolução foi feita com o valor aproximado, calculado em radianos. Para exercícios de aula ou provas/vestibulares/concursos, use ângulos fracionários ou mantenha as raízes.

 

RELEMBRANDO O BÁSICO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

 

Relembre como são os números complexos e o que é um conjugado na sugestão de post da linha azul 👇🏻:

 

 

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👉 Números complexos (nem tão complexos assim)

 

 

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