As fórmulas de redução ou de recorrência para funções trigonométricas

 Matemática Geral

 

Nas expressões que envolvem funções trigonométricas com potências diversas, existe um mecanismo de resolução, a partir de formulações para a integral. Essas fórmulas de redução permitem ou resolver a integral trigonométrica, ou resolver, por recorrência na aplicação da fórmula, até que o expoente seja igual a um. Vamos apresentar a você que fórmulas são essas!

 

 

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QUAIS SÃO ESSAS FÓRMULAS?

 

Vamos começar pelas funções mais famosas, seno e cosseno. As fórmulas de recorrência são:

 

∫senⁿu du = -(1/n)sen^n-1u cos u + [(n – 1)/n]∫sen^n-2u du

∫cosⁿu du = (1/n)cos^n-1u sen u + [(n – 1)/n]∫cos^n-2u du

 

E agora, as demais fórmulas de redução:

 

∫tanⁿu du = [1/(n – 1)]tan^n-1u -∫tan^n-2u du

∫cotanⁿu du = -[1/(n – 1)]cotan^n-1u -∫cotan^n-2u du

∫secⁿu du = [1/(n - 1)]sec^n-2u tan u + [(n – 2)/(n – 1)]∫sec^n-2u du

∫cossecⁿu du = -[1/(n - 1)]cossec^n-2u cotan u + [(n – 2)/(n – 1)]∫cossec^n-2u du

 

VAMOS A UM EXEMPLO

 

Já que agora conhecemos nossas fórmulas de recorrência, vamos a um exemplo de resolução de integral usando uma delas. Qual a integral de:

 

∫sen³u du ?

 

Aplicando a fórmula de recorrência, com n = 3:

 

∫sen³u du = -(1/n)sen²u cos u + [(n – 1)/n]∫sen u du

 

Ainda temos uma integral indefinida para resolver. Conhecendo qual a integral da função seno, temos:

 

-(1/n)sen²u cos u + [(n – 1)/n]∫sen u du =

-(1/n)sen²u cos u - [(n – 1)/n] cos u + C

 

AS INTEGRAIS DE FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES

 

Esse tipo de integral exige um conhecimento adicional do comportamento da função ao longo de trechos do domínio. Na sugestão com link na linha azul 👇🏻, você pode aprender como se resolve esse tipo de integral imprópria:

 

 

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