Matemática

Quem conhece a trigonometria circular (aquela onde trabalhamos com o círculo trigonométrico e as clássicas funções sen(x) e cos(x)) sabe que existem relações matemáticas entre essas funções, ou ainda entre as derivadas dessas funções. Para as funções da trigonometria hiperbólica, também existem relações matemáticas diretas e aquelas que envolvem derivação.

Nessa postagem, vamos saber mais sobre essas relações e derivadas na trigonometria hiperbólica, verificando também sua forma exponencial e, em alguns casos, sua validade.

 
https://www.oblogdomestre.com.br/2020/09/RelacoesEDerivadasHiperbolicas.Matematica.html
[Gráfico da função tangente hiperbólica. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]



RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS


As relações trigonométricas hiperbólicas partem das funções seno hiperbólico (senh(t)) e cosseno hiperbólico (cosh(t)), cuja forma exponencial corresponde a:

cosh(t) = 0,5 • [exp(t)+ exp(-t)] ou 0,5 • [et+ e-t]
senh(t) = 0,5 • [exp(t) - exp(-t)] ou 0,5 • [et - e-t]

Entre seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, da mesma forma que seno e cosseno, existe a tangente hiperbólica (tanh(t)) e cotangente hiperbólica (cotanh(t)).

tanh(t) = senh(t)/cosh(t)
tanh(t) = {0,5 • [et - e-t]}/ {0,5 • [et+ e-t]}

cotanh(t) = cosh(t)/senh(t)
cotanh(t) = {0,5 • [et + e-t]}/ {0,5 • [et- e-t]}
cotanh(t) = [et + e-t]/ [et - e-t]

As funções secante hiperbólica e cossecante hiperbólica, são, de forma similar, definidas como:

sech(t) = 1/cosh(t)
sech(t) = 1/ {0,5 • [et+ e-t]}
sech(t) = 2 / [et+ e-t]

cossech(t) = 1/senh(t)
cossech(t) = 1/{0,5 • [et- e-t]}
cossech(t) = 2 / [et- e-t]

Outra similaridade está naquela relação entre seno hiperbólico de 2t e seno/cosseno hiperbólico:

senh(2t) = 0,5 • [e2t - e-2t]

2senh(t)cosh(t) = 2 • {0,5 • [et - e-t]} • {0,5 • [et + e-t]}
2senh(t)cosh(t) = 0,5 • [et - e-t] • [et + e-t]

Sabendo aquele produto notável da soma pela diferença:

2senh(t)cosh(t) = 0,5 • [e2t - e-2t]
senh(2t) = 0,5 • [e2t - e-2t]
senh(2t) = 2senh(t)cosh(t)


DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS


Na trigonometria circular, seno e cosseno se relacionam nas derivadas de segunda, terceira, até qualquer enésima ordem que se imagine, de forma cíclica. Nas funções trigonométricas básicas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, há similaridade, mas é preciso ficar atento ao sinal: uma função é diretamente a derivada de segunda ordem da outra, com um ciclo de apenas duas derivadas para que uma função represente sua derivada de enésima ordem, o que ocorre após a derivada de quarta ordem na trigonometria circular.

 f(t) = senh(t) = 0,5 • [et - e-t]
f’(t) = ?

f’(t) = 0,5 [et – (e-t) • (-1)]
f’(t) = 0,5 [et + (e-t)]
f’(t) = cosh(t)

g(t) = cosh(t) = 0,5 • [et + e-t]
g’(t) = ?

g’(t) = 0,5 [et + (e-t) • (-1)]
g’(t) = 0,5 [et - (e-t)]
g’(t) = senh(t)

Vamos ver, também, a derivada da tangente hiperbólica:

f(t) = tanh(t) = [et - e-t] / [et+ e-t]
f’(t) = ?

Pela regra do quociente:

f’(t) = {[et + e-t] • [et+ e-t] - [et - e-t] • [et - e-t]}/ {[et+ e-t]²}
f’(t) = {[e2t + 2e0 + e-2t] - [e2t - 2e0 + e-2t]} / {[e2t + 2e0 + e-2t]}
f’(t) = {[e2t + 2 + e-2t] - [e2t - 2 + e-2t]} / {[e2t + 2 + e-2t]}
f’(t) = {[e2t - e2t + 2 + 2+ e-2t - e-2t]} / {[e2t + 2 + e-2t]}
f’(t) = 4 / {[e2t + 2 + e-2t]}
f’(t) = {2 / [et+ e-t]}²

Sabendo que a secante hiperbólica:

sech(t) = 2 / [et+ e-t]

Chega-se à seguinte relação:

f’(t) = {sech(t)}² = sech²(t) ou
tanh’(t) = sech²(t)

SABENDO MAIS SOBRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS


Há diferentes aplicações práticas para as funções trigonométricas hiperbólicas, comportamento da função e do gráfico e muito mais detalhes que já foram abordados aqui no Blog do Mestre. Para saber mais sobre isso, sugerimos que você leia também o post sugerido que foi destacado logo abaixo.



👉 E ainda mais para você: O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico


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