Relações e derivadas na trigonometria hiperbólica

Matemática

Quem conhece a trigonometria circular (aquela onde trabalhamos com o círculo trigonométrico e as clássicas funções sen(x) e cos(x)) sabe que existem relações matemáticas entre essas funções, ou ainda entre as derivadas dessas funções. Para as funções da trigonometria hiperbólica, também existem relações matemáticas diretas e aquelas que envolvem derivação.

Nessa postagem, vamos saber mais sobre essas relações e derivadas na trigonometria hiperbólica, verificando também sua forma exponencial e, em alguns casos, sua validade.

 

[Gráfico da função tangente hiperbólica. Imagem: Gerador de Gráficos do Google]

» Os princípios básicos das derivadas

» Derivação implícita e logarítmica

» As relações trigonométricas

RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

As relações trigonométricas hiperbólicas partem das funções seno hiperbólico (senh(t)) e cosseno hiperbólico (cosh(t)), cuja forma exponencial corresponde a:

cosh(t) = 0,5 • [exp(t)+ exp(-t)] ou 0,5 • [e^t+ e^-t]

senh(t) = 0,5 • [exp(t) - exp(-t)] ou 0,5 • [e^t - e^-t]

Entre seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, da mesma forma que seno e cosseno, existe a tangente hiperbólica (tanh(t)) e cotangente hiperbólica (cotanh(t)).

tanh(t) = senh(t)/cosh(t)

tanh(t) = {0,5 • [e^t - e^-t]}/ {0,5 • [e^t+ e^-t]}

tanh(t) = [e^t - e^-t]/ [e^t+ e^-t]

cotanh(t) = cosh(t)/senh(t)

cotanh(t) = {0,5 • [e^t + e^-t]}/ {0,5 • [e^t- e^-t]}

cotanh(t) = [e^t + e^-t]/ [e^t - e^-t]

As funções secante hiperbólica e cossecante hiperbólica, são, de forma similar, definidas como:

sech(t) = 1/cosh(t)

sech(t) = 1/ {0,5 • [e^t+ e^-t]}

sech(t) = 2 / [e^t+ e^-t]

cossech(t) = 1/senh(t)

cossech(t) = 1/{0,5 • [e^t- e^-t]}

cossech(t) = 2 / [e^t- e^-t]

Outra similaridade está naquela relação entre seno hiperbólico de 2t e seno/cosseno hiperbólico:

senh(2t) = 0,5 • [e^2t - e^-2t]

2senh(t)cosh(t) = 2 • {0,5 • [e^t - e^-t]} • {0,5 • [e^t + e^-t]}

2senh(t)cosh(t) = 0,5 • [e^t - e^-t] • [e^t + e^-t]

Sabendo aquele produto notável da soma pela diferença:

2senh(t)cosh(t) = 0,5 • [e^2t - e^-2t]

senh(2t) = 0,5 • [e^2t - e^-2t]

senh(2t) = 2senh(t)cosh(t)

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

Na trigonometria circular, seno e cosseno se relacionam nas derivadas de segunda, terceira, até qualquer enésima ordem que se imagine, de forma cíclica. Nas funções trigonométricas básicas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, há similaridade, mas é preciso ficar atento ao sinal: uma função é diretamente a derivada de segunda ordem da outra, com um ciclo de apenas duas derivadas para que uma função represente sua derivada de enésima ordem, o que ocorre após a derivada de quarta ordem na trigonometria circular.

 f(t) = senh(t) = 0,5 • [e^t - e^-t]

f’(t) = ?

f’(t) = 0,5 [e^t – (e^-t) • (-1)]

f’(t) = 0,5 [e^t + (e^-t)]

f’(t) = cosh(t)

g(t) = cosh(t) = 0,5 • [e^t + e^-t]

g’(t) = ?

g’(t) = 0,5 [e^t + (e^-t) • (-1)]

g’(t) = 0,5 [e^t - (e^-t)]

g’(t) = senh(t)

Vamos ver, também, a derivada da tangente hiperbólica:

f(t) = tanh(t) = [e^t - e^-t] / [e^t+ e^-t]

f’(t) = ?

Pela regra do quociente:

f’(t) = {[e^t + e^-t] • [e^t+ e^-t] - [e^t - e^-t] • [e^t - e^-t]}/ {[e^t+ e^-t]²}

f’(t) = {[e^2t + 2e⁰ + e^-2t] - [e^2t - 2e⁰ + e^-2t]} / {[e^2t + 2e⁰ + e^-2t]}

f’(t) = {[e^2t + 2 + e^-2t] - [e^2t - 2 + e^-2t]} / {[e^2t + 2 + e^-2t]}

f’(t) = {[e^2t - e^2t + 2 + 2+ e^-2t - e^-2t]} / {[e^2t + 2 + e^-2t]}

f’(t) = 4 / {[e^2t + 2 + e^-2t]}

f’(t) = {2 / [e^t+ e^-t]}²

Sabendo que a secante hiperbólica:

sech(t) = 2 / [e^t+ e^-t]

Chega-se à seguinte relação:

f’(t) = {sech(t)}² = sech²(t) ou

tanh’(t) = sech²(t)

SABENDO MAIS SOBRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

Há diferentes aplicações práticas para as funções trigonométricas hiperbólicas, comportamento da função e do gráfico e muito mais detalhes que já foram abordados aqui no Blog do Mestre. Para saber mais sobre isso, sugerimos que você leia também o post sugerido que foi destacado logo abaixo.

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👉 E ainda mais para você: O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico

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