A derivada

A derivada, assunto muitas vezes temido por muitos estudantes nas áreas das ciências exatas e engenharias, trata-se de uma taxa de inclinação e, num conceito mais elaborado, uma função correlacionada à outra. Nela, baseia-se o alicerce do estudo do Cálculo, estruturado nas ideias de Isaac Newton e Gottfried Leibniz (Uma pequena biografia de Leibniz será disponibilizada, em breve, por nosso blog).

Para encontrar a função derivada e o valor da derivada em um dado ponto, são necessários conhecimentos em relação ao cálculo de limites, propriedades e características das funções, conhecimentos de trigonometria.

Dada uma função f(x) qualquer, sua derivada num dado ponto a é:

Quando ‘x’ está tendendo a ‘a’, a diferença entre os dois pontos tende a zero, e, nisso, a inclinação da reta secante à curva de f(x) se assemelha à inclinação da reta tangente. Essa inclinação é a derivada de uma função em um dado ponto. O conjunto dessas inclinações, em um dado intervalo, caracteriza a função derivada.

Outra maneira de ver esta função é dada por

 supondo x sendo igual a a+h (h é a diferença entre a e x, que se aproxima de zero à medida que o valor de x se aproxima do valor de a).

O cálculo da derivada de uma função segue esta mesma linha em todos os casos em que uma função é diferenciável (possui derivada). Uma função, para que seja diferenciável em um dado ponto, precisa ser contínua neste ponto e, possuir uma única reta tangente ao ponto. A função modular, por exemplo, não possui derivada em a=0 (f’(a) não existe). Todavia, possui derivada definida em todos os outros pontos.

Na Física, a velocidade é a taxa de variação da posição em função do tempo, ou seja, a derivada da função posição é a função velocidade. Da mesma forma, a função aceleração, que é a taxa de variação da velocidade em função do tempo, é a derivada da função velocidade. A função arranque, a derivada da função aceleração.

Na Economia, analisa-se gráficos de custos versus produção, objetivando-se a otimização de custos. Quando a produção e custo estão otimizados, a derivada da função custo é igual à zero.

Na Biologia, biólogos estudam a taxa de variação de uma população de bactérias em função do tempo, ou seja, outra derivada.

Dessa forma, a função derivada é de grande aplicação nas ciências exatas, engenharia, ciências sociais, etc.

Pensando na derivada como uma função, usa-se x no lugar de a na notação geral do cálculo da Derivada (para considerar que x varia dentro do domínio de uma função, por questões de notações convencionais)

Algumas regras auxiliam no cálculo de uma derivada, como:

- Em funções potência, a derivada é dada pelo expoente da função original, multiplicado pela variável elevada ao expoente original menos um:

f’(x) = nx^n-1 para f(x) = xⁿ.

- Em funções exponenciais, é válida a seguinte relação:

f’(x) = f’(0)a^x.

No caso da função exponencial natural, o valor da função de derivada é igual ao valor da função no ponto, pois f’(0)=1 se f(x)=e^x. e é a única base que possui esta característica.

- Derivada do produto de funções: se f e g são deriváveis, (fg)’=f’g + fg’

- Derivada do quociente: se f e g são diferenciáveis, (f/g)’ = [f’(x)g(x) – f(x)g’(x)] / [g(x)]²

- Derivadas das funções trigonométricas:

f(x) = sen x          - f’(x) = cos x;

f(x) = cos x          - f’(x) = -sen x;

f(x) = tg x            - f’(x) = sec² x;

f(x) = cossec x     - f’(x) = -cossec x cotg x;

f(x) = sec x          - f’(x) = sec x tg x;

f(x) = cotg x        - f’(x) = -cossec² x.

- Derivadas cíclicas: no caso da função seno, e de algumas outras, a enésima derivada é igual a outra. Neste caso, aplicam-se conhecimentos de aritmética modular para definir qual a função correspondente a f⁽ⁿ⁾(x).

Exemplo: f(x) = cos x.

f’ (x) = - sen x;

f’’ (x) = -cos x;

f’’’(x) = sen x;

f⁽⁴⁾ = cos x;

As derivadas ocorrem de forma cíclica, variando de acordo com o resto da divisão de n por 4 (no caso das derivadas da função cosseno), estabelecida a seguinte regra:

f’ (x) = - sen x  [n ≡ 1 mod 4];

f’’ (x) = -cos x  [n ≡ 2 mod 4];

f’’’(x) = sen x   [n ≡ 3 mod 4];

f⁽⁴⁾ = cos x       [n ≡ 0 mod 4].

[Leia-se n congruente a ___módulo 4]

E assim, sucessivamente. Por exemplo:

f⁽³⁸⁾ = f⁽²⁾  = -cos x, porque 38 ≡ 2 mod 4.

              

 O Blog do Mestre recomenda as seguintes leituras sobre o assunto:

[Estudo completo sobre o assunto]

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LCT

STEWART, James. Cálculo – Volume 1. / James Stewart; tradução técnica Antônio Carlos Moretti, Antônio Carlos Gilli Martins; revisão técnica Helena Castro. – São Paulo: Cengage Learning, 2010. 

[Introdução]

Volume 3 da série Matemática Aula por Aula, editora FTD (3ª série do ensino médio) – traz um conceito simplificado da derivada, ideal para estudos iniciais sobre o assunto ou para motivação de vestibulandos que desejam seguir a área das exatas.

Veja também: (Datas comemorativas) O que se comemora em abril?