Integrais Impróprias (I)

 Matemática

 

Em nossa última postagem, falamos sobre as funções definidas por partes, que são funções cujas expressões matemáticas que as definem mudam segundo intervalos do domínio. Também se comentou a respeito de como funcionam as derivadas para esse tipo de função, mas ainda ficou uma dúvida: e as integrais? É o que vamos saber a partir de agora!

 

 

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O QUE SÃO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS?

 

As integrais impróprias são integrais em condições que envolvem descontinuidades no intervalo, limites de integração infinitos e outras situações que fogem ao “normal”. Nos gráficos de funções definidas por partes, encaixa-se uma das situações de integrais impróprias. Como uma propriedade básica das integrais é que a integral de uma soma de duas funções integráveis é a soma das integrais de cada uma delas, divide-se o domínio em cada intervalo definido por uma expressão (e que tenha continuidade), calcula-se a integral em cada um desses intervalos e, por fim, soma-se os resultados.

 

Algumas restrições válidas para as derivadas não são aplicáveis em integrais impróprias desse tipo. Uma delas é o fato de haver descontinuidades de salto na função primitiva: mesmo com elas, é possível calcularmos uma integral de função definida por partes.

 

CALCULANDO ESSE TIPO DE INTEGRAL IMPRÓPRIA

 

Para entendermos melhor como funciona o cálculo, vamos calcular a integral de uma função-exemplo f(x), em um determinado intervalo. Queremos saber a integral no intervalo de 1 a 4.

 

 

f(x) = {2x se -1 ≤ x ≤ 3; 3x² se 3 < x ≤ 4}

I =₁⁴∫f(x)dx = ₁³∫2x dx + ₃⁴∫3x² dx

I = x²|₁³ + x³|₃⁴

I = (3² - 1²) + (4³ - 3³)

I = (9 – 1) + (64 – 27) = 45

 

RELEMBRANDO SOBRE AS FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES

 

Na sugestão de post da linha azul 👇🏻, você pode conferir a respeito de como são as funções definidas por partes, aspectos de descontinuidade ou mesmo como se representam os pontos que ficam no limite entre uma e outra expressão. Clique e leia, caso você não tenha lido ainda:

 

 

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E AINDA MAIS PARA VOCÊ:

👉 Funções definidas por partes

 

 

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