A média harmônica

 Matemática

 

A média harmônica é um recurso bastante interessante para descrever alguns grupos de dados onde outras medidas de tendência central como a média aritmética ou a mediana não ajudam. Nesse post, vamos aprender a identificar alguns casos onde precisamos considerar a média harmônica, como calcular e um exemplo.

 

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GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

 

Uma grandeza diretamente proporcional a outra ocorre quando uma cresce, a outra cresce também. Um exemplo é o preço de uma casa e a área: se ela for maior, tendo mais área, seu preço tende a crescer.

 

Por outro lado, no caso das grandezas inversamente proporcionais, quando uma cresce, a outra diminui. Um exemplo é a velocidade e o tempo de viagem. Se você aumenta a velocidade, demora menos = diminui o tempo.

 

Numa equação, grandezas diretamente proporcionais vão aparecer em lados opostos da igualdade e ambas no numerador. Grandezas inversamente proporcionais, por sua vez, irão aparecer no denominador do outro membro da equação. Exemplo:

 

X = QL/T

 

Q e L são diretamente proporcionais a X

T é inversamente proporcional a X.

 

Usamos a média harmônica em casos onde estamos falando de grandezas inversamente proporcionais.

 

A FÓRMULA DA MÉDIA HARMÔNICA

 

Sendo n o número de elementos do conjunto e x_i cada elemento, a média harmônica mh é dada por:

 

mh = n / {(1/x₁)+(1/x₂)+ ••• + (1/x_n) =  n / ∑(1/x_n)

 

Ela se parece com a fórmula da média aritmética comum, mas o número n de elementos do conjunto está no numerador, os elementos x_i estão com seus inversos no denominador. Além de termos grandezas inversamente proporcionais, os dados são relativos a uma mesma referência (distância, volume, etc.).

 

VAMOS A UM EXEMPLO

 

Ex 1. Um carro andou uma distância d na velocidade de 75 km/h, o trecho com distância d seguinte a 40 km/h e o terceiro trecho com distância d a 80 km/h. Qual seria a velocidade média em todo o trecho com distância 3d?

 

R. Temos distância e velocidade, que são inversamente proporcionais. Isso é um indicativo para usarmos a média harmônica. O outro é que não temos qual seria essa distância 3d, tampouco o tempo despendido. Simplesmente fazer a média aritmética simples nos levaria a erro nessa resposta.

 

Então vamos calcular pela média harmônica:

 

mh = n / {(1/x₁)+(1/x₂)+ ••• + (1/x_n)

mh = 3 / {(1/75)+(1/40)+(1/80)}

 

Calculando o m.m.c.:

 

40, 75, 80 |2

20, 75, 40 |2

10, 75, 20 |2

5, 75, 10   |2

5, 75, 5     |3

5, 25, 5     |5

1, 5, 1       |5

1, 1, 1       |

m.m.c = 2⁴ • 3 • 5² = 1200

 

Voltando à média harmônica:

 

mh = 3 / {(16 + 30 + 15)/1200} = 3 / {61/1200} =

mh = 3 • 1200 / 61 = 59,02 km/h

 

Ou seja, a velocidade média no trecho 3d seria de 59,02 km/h.

 

ENTENDA TAMBÉM A MÉDIA PONDERADA

 

Em outra aplicação específica, é útil a média ponderada, e na sugestão de post da linha azul 👇🏻, você descobre que utilidade é essa:

 

 

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👉 As aplicações da média ponderada

 

 

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