As equações exponenciais

 Matemática

 

Dos diferentes tipos de equações existentes, as equações exponenciais são aquelas que, além de representarem igualdades e possuírem alguma incógnita, usam as propriedades das potências e dos logaritmos para sua resolução. Nesta postagem, vamos conhecer um pouquinho mais sobre elas.

 

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COMO SÃO AS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS?

 

Nas equações exponenciais, a incógnita está na forma de expoente:

 

 

A resolução vai consistir ou em utilizar propriedades de potências para resolver a equação, reduzindo-a a formas mais simples, como equações de primeiro grau, segundo grau e outras, ou a aplicação de propriedades de logaritmos. Vamos começar a aprender considerando as igualdades de potências.

 

RESOLVENDO ESSAS EQUAÇÕES COM IGUALDADE DE POTÊNCIAS

 

Uma propriedade de potências que é essencial é a da igualdade de bases. Quando essa igualdade ocorrer em uma equação, obrigatoriamente os expoentes também serão iguais:

 

 

Além desse princípio, outras propriedades de potências são úteis:

 

 

Vamos a um exemplo?

 

1 – Qual(is) a(s) solução(ões) para x na seguinte equação exponencial:

?

 

Vamos transformar tudo em potências de 5:

 

 

Considerando a igualdade de bases, podemos transformar a equação exponencial em equação de primeiro grau. Outra forma de interpretar seria que aplicamos logaritmo na base 5 em ambos os membros da equação:

 

 

RESOLVENDO AS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM LOGARITMOS

 

Como mencionado no item anterior, como temos uma equação e as incógnitas estão nos expoentes, queremos trabalhar com equações mais simples. Em geral, pensamos em igualar bases para considerar a propriedade de igualdade de bases e, com isso, igualdade de expoentes, ou podemos pensar que aplicamos logaritmos em bases iguais, extraindo os logaritmandos em ambos os membros das equações exponenciais.

 

Usamos logaritmos de bases diferentes também, quando temos expoentes de bases distintas, e convertemos todos a uma mesma base. Vamos fazer alguns exemplos para entendermos melhor?

 

2 – Qual(is) a(s) solução(ões) para x na seguinte equação exponencial:

?

 

Note que 118 não é uma potência de 6. 6² é igual a 36 e 6³ é igual a 216. 118 também não é número primo, mas não sendo potência de 6, já é o suficiente para não servir aos nossos propósitos. Vamos aplicar um logaritmo na base 6 em ambos os membros:

 

 

Essa é a resposta da equação. Para saber o valor aproximado, não o exato, é necessário o uso de uma calculadora. Em alguns casos, é possível usar logaritmos conhecidos, na base 10, para obter os resultados exatos.

 

3 – A equação exponencial que vemos a seguir possui qual solução?

 

Aqui vamos trabalhar um pouco mais as propriedades de logaritmos. Primeiro vamos isolar o membro em que há uma potência:

 

 

Agora vamos aplicar o logaritmo na base 5 em ambos os membros porque queremos a incógnita x fora do expoente.

 

 

Temos o que seria a nossa resposta exata. Usando uma calculadora ou Excel, seria possível resolver e encontrar um valor aproximado de x, entretanto, não temos isso em provas especiais. Em geral, temos tabelados valores de logaritmos na base 10. O caminho é converter esses logaritmos na base 5 para base 10 usando a seguinte propriedade:

 

 

Geralmente ocultamos a base 10 em logaritmos, então a conversão vai ser:

 

 

Consultando uma tabela de logaritmos decimais, aproximamos esse valor, mesmo com uma calculadora mais simples:

 

 

LOGARITMOS NO ENEM

 

O Blog do Mestre revisitou algumas questões do ENEM em que também era preciso trabalhar com propriedades de logaritmos. Na sugestão de post da linha azul 👇🏻, você vê um pouquinho sobre o que caiu na edição de 2019:

 

 

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👉 Relembrando algumas questões de matemática do ENEM 2019

 

 

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