Matemática


Durante a quarentena do coronavírus, várias pessoas se desafiaram com uns sistemas de equações um tanto curiosos, onde as variáveis são representadas por figurinhas. O princípio para resolver é exatamente o mesmo que nas aulas do sétimo ou oitavo anos do ensino fundamental. Quando os sistemas de equações possuem muitas variáveis, passa a ser interessante trabalhar na forma matricial, mas aí estamos falando de algo mais avançado. Nessa postagem, você irá aprender como resolver esses sistemas de equações e não fazer feio nos desafios que aparecerem!

  
https://www.oblogdomestre.com.br/2020/04/SistemasDeEquacoes.Matematica.DesafiosDaInternet.html
[Resolvendo os sistemas de equações na aula. Imagem: Gerd Altmann/Pixabay]



O QUE SÃO OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES?


Sistemas de equações são um conjunto de equações que relacionam mais de uma variável. Para que se defina os valores exatos de cada variável naquele sistema, são necessárias tantas equações quanto variáveis, e que elas apareçam em mais de uma equação do sistema. Especificamente naquele sistema de equações, a variável assume exatamente o mesmo valor em todas as sentenças.

O grau de um sistema de equações é definido pelo maior expoente das variáveis presentes, se elas não estiverem sendo multiplicadas entre si. O sistema de equações:

| 2x + y = 7
| 3x – y = 8

é de primeiro grau, pois não há variáveis multiplicadas entre si, nem há variáveis com expoente maior do que 1. Quando um sistema de equações é de 2º grau ou superior, é importante não somar elementos com expoentes diferentes (por exemplo x e x²). Para a resolução, existem dois métodos possíveis, o método da adição e o método da substituição.

Método da adição


No método da adição, somamos duas equações, chegando a uma equação com uma variável. Isso é útil quando temos uma variável com coeficiente com sinal contrário na outra equação. Vamos ao nosso exemplo:

| 2x + y = 7
| 3x – y = 8
5x = 15  
x = 15/5 = 3

Após somar as equações e achar o valor de uma variável do sistema, substituiremos o valor em qualquer uma das equações e encontraremos o valor da outra variável:

3 • 3 – y = 8
9 – y = 8
- y = 8 - 9
y = - 8 + 9
y = 1

Com isso, obtemos o conjunto solução S = {(3, 1)}

Método da substituição


No método da substituição, isolamos uma variável e substituímos seu valor na equação seguinte. Sabendo o valor de uma variável, vamos inserir nas demais equações e encontrar o valor das outras variáveis. Vamos resolver o nosso exemplo por esse método:

| 2x + y = 7
| 3x – y = 8

2x + y = 7
y = 7 – 2x

3x – y = 8
3x – (7 – 2x) = 8
3x – 7 + 2x = 8
3x + 2x = 8 – 7
5x = 15
x = 15/5 = 3

2x + y = 7
2 • 3 + y = 7
y =  7 - 2 • 3 = 7 – 6 = 1

Destarte, obtemos também o conjunto solução S = {(3, 1)}. Note que a forma de resolver não interferiu na resolução.

RESOLVENDO OS SISTEMAS COM FIGURINHAS


Vamos resolver alguns sistemas de equações que estão nos desafios da internet. Veja que eles não são sistemas de equações de primeiro grau, mas vamos resolver primeiro a parte que é para só depois resolver a equação final

As equações mágicas


  
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 [As equações mágicas com bruxas e varinhas. 
Imagem: Circulando pelas redes sociais]

Para resolvermos essas equações mágicas, vamos chamar a bruxa 🧙🏻️ de b, a varinha mágica de m e a vassoura🧹 de v. Com isso, temos o seguinte sistema:

| (b+ v + m) + (b + v + m) + (b + v + m)  = 45

| m + m + m = 21
| v + v + v = 12

Vamos resolver por substituição:

v + v + v = 12
3v = 12
v = 12/3 = 4

m + m + m = 21
3m = 21
m = 21/3 = 7

(b+ v + m) + (b + v + m) + (b + v + m)  = 45
3(b + v + m)  = 45
b + v + m = 45/3
b + v + m = 15
b = 15 - v - m
b = 15 - 4 – 7 = 4

Com as substituições, vamos saber quanto vale o ❓:

| v + b • m =
v + b • m =
4 + 4 • 7 =
4 + 28 =
32 =

As equações atléticas


[As equações atléticas com o esportista, a faixa e os tênis. Imagem: Circulando pelas redes sociais]
  

Para resolvermos essas equações atléticas, vamos chamar o esportista🤾🏻️ de e, a faixa de pano 🔴 de f e o tênis 👟 de t. Com isso, temos o seguinte sistema:

| 2t + 2t + 2t  = 30
| e + e + 2t = 20
| 2f + 2f + e = 13

Vamos resolver por substituição:

2t + 2t + 2t = 30
6t = 30
t = 30/6 = 5

e + e + 2t = 20
2e + 2t = 20
2e = 20 – 2t
e = (20 – 2t)/2
e = 10 - t
e = 10 - 5
e = 5

2f + 2f + e = 13
4f + e = 13
4f = 13 - e
f = (13 - e)/4
f = (13 - 5)/4
f = 8/4 = 4

Com as substituições, vamos saber quanto vale o ❓:

| t + (e + f) • f =
t + ef + f² =
5 + 5 • 4 + 4² =
5 + 20 + 16 =
41 =

As equações das bananas


  
 
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[As equações das bananas exigem mais cuidado. 
Imagem: Circulando pelas redes sociais]


As equações das bananas são mais difíceis, pois todos os elementos mudam de uma equação para outra, sendo necessário montar certinho o sistema de equações. Para resolvermos, vamos chamar as arestas dos polígonos 🛑 de a, cada banana do cacho 🍌 de b e a hora do relógio 🕙 de h. Com isso, temos o seguinte sistema:

| (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) = 45

| 4b + 4b + (4a + 5a + 6a) = 23

| 4b + 3h + 3h = 10

Vamos resolver por substituição:

(4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) = 45
15a + 15a + 15a = 45
45a = 45
a = 45/45 = 1

4b + 4b + (4a + 5a + 6a) = 23
8b + 15a = 23
8b + 15 • 1 = 23
8b + 15 = 23
8b = 23 – 15
8b = 8
b = 8/8 = 1

4b + 3h + 3h = 10
4b + 6h = 10
4 • 1 + 6h = 10
4 + 6h = 10
6h = 10 - 4
6h = 6
h = 6/6 = 1

Com as substituições, vamos saber quanto vale o ❓:

| 2h + 3b + 3b • (5a + 6a) =
2h + 3b + 3b • 11a =
2 • 1 + 3 • 1 + (3 • 1) • (11 • 1) =
2 + 3 + 3 • 11 =
2 + 3 + 33 =
38 =



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