Operações com funções vetoriais

Matemática

As funções vetoriais são funções F tais que, dadas grandezas escalares (ou mesmo vetoriais) de entrada (variáveis independentes), originam vetores ou (em casos particulares, escalares) como imagem. Assim como as operações de integração e derivação/diferenciação, as funções vetoriais podem passar por operações semelhantes às que ocorrem entre dois vetores distintos quaisquer. Podem passar por soma/subtração e pelos produtos escalar e vetorial. 

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Para ilustrar essas operações, iremos considerar as funções vetoriais F(t) = f₁i + f₂j + f₃k e G(t) = g₁i + g₂j + g₃k. Na soma F(t) + G(t) temos:

F(t) + G(t) = (f₁ + g₁) i + (f₂ + g₂)j + (f₃ + g₃)k

F(t) – G(t) = (f₁ - g₁) i + (f₂ - g₂)j + (f₃ - g₃)k

Realizando o produto escalar entre as funções F(t) e G(t) temos, por sua vez, a seguinte função, cujo significado físico é do produto entre a norma de um vetor pela projeção reta do outro sobre ele:

F(t) ∙ G(t) = (f₁g₁) + (f₂g₂) + (f₃g₃)

Já no produto vetorial entre funções vetoriais, obtém-se uma função vetorial tal que os vetores por ela originados são ortogonais/perpendiculares aos das duas funções F(t) e G(t). Esse produto é obtido através do determinante da matriz cuja linha 1 é dos vetores canônicos i, j e k; a segunda linha da função F e a terceira das componentes da função G, nessa forma:

F(t) X G(t) = det |A|

|A| = | i    j   k |

        | f₁   f₂   f₃|

        | g₁ g₂ g₃|

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