A Equação de Torricelli

 Matemática

 

No mês passado, apresentamos as equações do MRV e MRUV, os movimentos retilíneo uniforme e retilíneo uniformemente variado. Todas elas dependem de variáveis como instante de tempo (t), posição (x), velocidade (v) e aceleração (a). A equação de Torricelli não envolve integrações e derivações, como mostramos naquela postagem, mas é uma carta na manga quando não sabemos o instante de tempo t, mas sabemos as demais variáveis. Nessa postagem, vamos conhecer que equação é essa é como ela veio de outras equações conhecidas.

 

 

[Luzes representam o movimento. Imagem: Michael Kauer/Pixabay]

 

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DEDUZINDO A EQUAÇÃO DE TORRICELLI

 

A Equação de Torricelli é válida para o MRUV, ou Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, ou seja, um tipo de movimento com aceleração constante. Para esse tipo de movimento, as seguintes equações são válidas:

 

a(t) = a

v(t) = v₀ + at

x(t) = x₀ + v₀t + (at²)/2

∆x = v₀t + (at²)/2

 

Quase todas as equações do MRUV são dependentes do instante de tempo t em que queremos saber posição ou velocidade, pois a aceleração é uma constante. Pode haver alguns problemas, porém, em que vamos saber qual a velocidade inicial v₀ e o deslocamento, mas não fazemos ideia de qual instante de tempo estamos tratando. Para esses casos, vamos usar a Equação de Torricelli, que é deduzida quando eliminamos a variável tempo, substituindo uma equação na outra:

 

v(t) = v₀ + at

t = (v - v₀)/a

 

∆x = v₀t + (at²)/2

∆x = v₀[(v - v₀)/a] + (a[(v - v₀)/a]²)/2

∆x = [(v₀v - v₀²)/a] + [(v - v₀)²/a]/2

∆x = [(v₀v - v₀²)/a] + [(v - v₀)²/2a]

∆x = [(v₀v - v₀²)/a] + [(v² - 2v₀v + v₀²)/2a]

∆x = [2(v₀v - v₀²) + (v² - 2v₀v + v₀²)]/2a

∆x = [2v₀v - 2v₀² + v² - 2v₀v + v₀²]/2a

∆x = [2v₀v - 2v₀² + v² - 2v₀v + v₀²]/2ª

∆x = [v² -  v₀²]/2a

2a∆x = v² -  v₀²

v² = 2a∆x + v₀²

v² = v₀² + 2a∆x

 

ou

 

v² = v₀² + 2a(x – x₀)

 

Que é a equação de Torricelli. Em alguns livros e sites, a posição x pode ser chamada pela letra s:

 

v² = v₀² + 2a(s – s₀)

 

 

Essa letra “s” vem do inglês space, mas há entendimento de que não estamos falando de espaço, pois o deslocamento considera um ponto material, sem dimensão significativa em nossa análise. Por isso, usamos a letra “x” para posição, mas explicamos que a fórmula é a mesma, apenas mudando por conta de entendimentos diferentes.

 

SABENDO DE ONDE VEM AS EQUAÇÕES DO MRV E MRUV

 

Como foi mencionado no começo do texto, existem algumas explicações para as equações para o MRV e o MRUV. É preciso saber as formas mais básicas de derivação e integração, ou então decorar as fórmulas para resolver problemas para esses tipos de movimento. Quer saber mais? Veja no link sugerido na barra azul 👇🏻.

 

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