Doze Pérolas

Matemática

Vamos trazer aqui mais um desafio proposto na internet pela equipe da OBMEP. Como ele está sendo reproduzido integralmente, onde estiver escrito "peso" leia-se "massa":

"Há doze pérolas idênticas em tudo, menos no peso. Onze têm o mesmo peso, mas a última, falsa, tem um peso diferente, sendo mais leve ou mais pesada do que as demais. Como identificar a pérola falsa podendo usar apenas três vezes uma balança com dois pratos?"

[Imagem: moritz320/Pixabay]

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Para chegar a uma solução, vamos atentar ao fato que não sabemos qual a distorção de massa da pérola falsa, ou seja, se é para mais ou para menos. Desse modo, não poderíamos começar com seis pérolas em cada prato.

SOLUÇÃO 1.

Separemos as pérolas em três grupos de pérolas com quatro unidades cada:

OOOO  OOOO  OOOO

Tomemos dois deles e coloquemos na balança.

OOOO  OOOO

Caso os dois fiquem parelhos, podemos descartá-los. Peguemos as demais pérolas e separemos duas, colocando nos pratos.

O  O

Caso fiquem parelhas, descartemos uma e coloquemos outra que não foi usada.

O  O

Se emparelhou, a pérola que não foi para a medida é a falsa. Se não emparelhou, a inserida nesse terceiro uso é que é a falsa.

Caso, na segunda etapa, tenha ficado desparelho, basta trocar uma e ver se emparelha (a tirada é a falsa) ou se mantêm a disparidade (a que ficou é falsa).

SOLUÇÃO 2.

Separemos as pérolas em três grupos de pérolas com quatro unidades cada:

OOOO  OOOO  OOOO

Tomemos dois deles e coloquemos na balança.

OOOO  OOOO

Já houve disparidade de cara nessa primeira medida. Então, vamos separar uma bolinha de cada grupo e retirar.

OOO  OOO

Supondo que, nesse processo, a segunda medição da balança tenha sido parelha, uma das duas bolinhas retiradas era a falsa, e todas as outras eram verdadeiras. Assim, você deve pegar uma das que estão e uma das que você retirou.

O  O

Se emparelhar, a excluída é a falsa. Caso contrário, a separada que você verificou é que é a falsa.

SOLUÇÃO 3.

Suponhamos que você definiu qual a distorção de massa que vai avaliar (mais ou menos). Você corre o risco de errar e ter de dobrar o número de medidas, mas pode ser mais simples de você refletir sobre o resultado. Supondo que era menor a massa da pérola falsa, você coloca seis em cada prato:

OOOOOO  OOOOOO

Do mais alto, você coloca três no outro prato:

OOO OOO

Do prato mais alto você pega uma bolinha apenas e coloca no prato oposto e a outra reserva:

O  O

Se emparelhar, a pérola guardada é a com distorção. Se ficar desparelho, a mais alta é a procurada. Para uma pérola distorcida com massa maior do que as demais, bastaria fazer o raciocínio inverso.

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👉 E ainda mais para você: A Ana "Diferentona" ou Ana "Bolt"

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