Matemática
O
teorema do sanduíche, espremedura ou confronto, é uma forma de resolver limites
de funções que podem não ser tão simples, a princípio, com algum conhecimento
do comportamento de outras funções, e a comparação destas com a função da qual
se quer saber o limite. A ideia básica é a que está sendo passada pelo nome:
achar duas funções que estão ensanduichando a função de que queremos saber o
limite em um dado valor a, para um
limite quando x tende a a.
[Imagem: Alfaconnection] |
Explicitando
matematicamente, o teorema do sanduíche nos diz que se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) nas
proximidades de a (x tende a a), e se lim x →a g(x) = lim x →a h(x) = L, então lim x
→a f(x) = L. isto é válido para comportamento assintótico, com x tendendo
ao infinito.
1) Encontre lim x
→+∞ (x+1)½ – (x) ½
Esta
é uma indeterminação da forma ∞ - ∞. Uma forma possível de resolver seria obter
a derivada usando a regra de L’Hospital ou usar alguma outra regra matemática
cabulosa, como a que vamos usar. Primeiramente, vamos escrever a função g(x) = (x+1)½
– (x) ½ de outra forma:
(x+1)½
– (x) ½ = (x+1)½ – (x) ½ · ((x+1)½ +
(x) ½)/ ((x+1)½ + (x) ½) = 1/((x+1)½
+ (x) ½)
Agora
vem o passo mais importante: escolher quais funções serão os nossos pães: note
que g(x) = 0 < f(x) = 1/((x+1)½ + (x) ½) < h(x) =1/(2(x)
½). f(x) < h(x) porque:
((x+1)½ + (x) ½) > 0 →
1/((x+1)½ + (x) ½) > 0
(x+1)½ > (x) ½ → 1/((x+1)½
+ (x) ½) < 1/((x)½ + (x) ½) = 1/(2(x)
½)
Sabendo
que lim x →+∞ 0 = 0 e que lim x →+∞ 1/(2(x) ½)
= 0, pelo teorema do Sanduíche, é válido afirmar que:
lim
x →+∞ (x+1)½ – (x) ½ = lim x →+∞ 1/((x+1)½
+ (x) ½) = 0.
□
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