Expoente menos um: o que isso quer dizer?

Matemática

Assim como no caso da letra alfa, ou do traço sobre o último algarismo de um número, o expoente menos um possui mais do que um significado matemático. Porém, diferentemente de outros casos, podemos usar uma única palavra que sintetiza todos: inverso.

n^-1

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O primeiro inverso seria o de número inverso, que pode ser visto ou como um número cujo numerador e denominador ocupam a outra posição em relação a outro, como por exemplo:

3/4 é o inverso de 4/3 [ (3/4)^-1 = 4/3 ]

Ou também como se dividíssemos 1 por um número, obtendo outro, que seria o seu inverso. O caso mais notável do expoente menos um como sendo número inverso ocorre ao trabalharmos com potências, em progressões geométricas ou não. Para simplificar a sequência entre potências, multiplicando ou dividindo pela base, ao invés de usarmos a notação:

... 1/4; 1/2; 1; 2, 4, 8...

Usamos esta:

... 2^-2; 2^-1; 2⁰; 2¹; 2² ...

Para uma dada função qualquer f(x), a função g(x) que dá o número inverso a cada valor do domínio de f é dada por g(x) = 1/f(x). Importante: Nem toda função possui imagem invertível: f(x) = 0 não possui g(x) tal que g = 1/0.

Falando em função, o outro inverso seria o de função inversa, que possui sentido completamente diferente do expresso no parágrafo anterior. A função inversa é aquela que, dada a imagem de uma outra função, tem como sua imagem o valor correspondente no domínio da primeira. Por exemplo:

h(0) = 1; h^-1 (1) = 0

São exemplos de funções e suas inversas: seno - arco seno, cosseno - arco cosseno, exponencial natural - logaritmo natural, potenciação - radiciação, integração - derivação, entre outras.

Então, se há dois significados, como saber qual está sendo usado ou qual usar? A resposta é: em cada cálculo, ou será usado um, ou outro. Se usados os dois contextos, é preferível usar o sentido de função inversa. Já em caso de função trigonométrica, se costuma usar apenas o sentido de função inversa, tanto que, em calculadoras científicas, ao usar a combinação SHIFT + sin, por exemplo, surgirá sin^-1 no visor para a função arco seno.

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